كان يا ما كان في بلدٍ بعيد، كان هناك بطل رياضي يمكنه السباحة، باحترافيّة، في دوائر حول منافسيه. وأعرب عن رغبته في التدريب لبطولة العالم للسباحة الدائرية، ولكن و بسبب الوباء، كان عليه أن يفعل ذلك في عزلةٍ تامّة. لذا شَّيدت له بلاده بحيرة دائرية وسط الغابة حيث يمكنه التدريب بأمان. رسم العمال أرضيةً ذات دوائر متحدة المركز و قياسات لكل نصف قطر ليحدد موقعه بسهولة. إن لم تكن تعلم، فإنَّ السباحة الدائرية ذات تقنيةٍ مذهلة حيث يمكن للرياضي أن يسبح بسرعة على أي مسارٍ منحني كما لو أنه يسبح على مسار مستقيم. تمّت معايرة حجم البحيرة بعناية مع سرعة الرياضي في السباحة، حيث كانت وحدة المسافة على وحدة الزمن بنسبة 1:1. و قياس نصف قطر البحيرة 3.5 وحدات من الطول، فهذا يعني بالتحديد أنَّه سوف يستغرق 3.5 وحدات من الزمن لسباحة نصف قطر البحيرة. و لمزيدٍ من المساعدة وضعوا لهُ عوَّامة وسط البحيرة.
لكن لم تعرف الدولة بخطر تلك الغابة. ففي يوم من الأيام، و أثناء تدريبه كان بالقرب من مركز البحيرة و لاحظ دُبًا على الشاطئ يتطلع إليه بجوع. و سرعان ما سبح الى وسط البحيرة لتقييم الوضع. عَلِمَ بأنّ الدبّ بالتأكيد كان يترصّد له، فأخَذَ يدورُ حول البحيرة بسرعة ثابتة و لا تظهر عليه أي من علامات الاستسلام. و الدبّ لم يغامر بالدخول الى البحيرة، حيث يمكن للسباح أن يتفوق عليه بسهولة. لاحظ أنه على الرغم من أنَّ الدب كان في الجانب البطيئ، إلا أنَّ سرعة الدب في الجري لا تزال 3.5 مرات أسرع من سرعة سباحة الرياضي. كان الرياضي متَعبٌ قليلا و أدركَ أنه لا يمكنهُ البقاء أكثر في البحيرة. وكان على ثقة من أنه إذا تمكّن من الخروج من البحيرة قبل الدب يمكنه الإختباء بسرعة في الأشجار المحيطة والهروب من ذلك الحيوان.
فكِّر في السيناريو أعلاه ِللَحظة قبل متابعة القراءة أو إجراء حسابات مفصَّلة في أي نمط. هل يجب على الرياضي السباحة من أجل أفضل فرصة للنجاة؟
هل فكّرتَ في مخطط استراتيجي للنجاة؟ حسناً الآن يمكنك متابعة القراءة.
هنالك حيوان على الأغلب وجدَ نفسه في حالٍ مشابهٍ لحالِ السباح، وقد أتقنَ استراتيجية فعّالة لإحباط مطارديه؛ و هو السنجاب الرمادي الشرقي. دائما ما يضع السنجاب نفسه في نقطة معاكسة تماماً لمطارديه بينما يتسلق في نفس الوقت أعلى الشجرة، مما يجعله قريباً من الهروب. يعتمد السنجاب على سرعته في الزاوية الأسرع بكثير. حيث يتنقل في محيط أصغر من محيط المطارِد الذي يدور حول محيط الشجرة. هذه الإستراتيجية فعالة للغاية لدرجة أن رائد الفضاء يستخدمها للهروب من عدو الفضاء الطرّاد في كتاب الغُمّيضَة للكاتب آرثر سي كلارك ( Hide and seek - Arthur C. Clarke's).
يمكنكَ أن ترى كيف يمكن أن تكون هذه الإستراتيجية مفيدة في هذا السيناريو. حل المشكلة يتطلب حسابات مفصلة ، لذلك دعونا نمضي خطوة بخطوة للعثور على إجاباتٍ لهذه الأسئلة.
قبل كل شيء يجب أن نفترض بأن الدب سيتبّع غريزيًّا الإستراتيجية الأكثر فائدة لنفسه.
لغز 1
1. كيف يمكن للسباح تطبيق استراتيجية السنجاب (مع الحفاظ على اتجاه معاكس تماما للدب) للوصول إلى أفضل وضع للهروب؟
2. ما نوع المسار الذي يتتبعه السباح عند القيام بذلك ؟
3. كم عدد الدورات الكاملة التي سيقوم بها السباح قبل أن تتوقف استراتيجية السنجاب عن تقديم أي مساعدة إضافية؟
4. كم من الوقت يستغرق للوصول إلى هذه النقطة؟
5. هل يمكن للسباح أخيرا الهرب من الدب؟
هذه مشكلة كلاسيكية تم استكشافها من قبل. قد تكون مألوفة لدى بعض القرَّاء، على الرغم من أننا قمنا بتغيير الأرقام. إذا كنت قد وصلت الى هذا الحد، فجرب المجموعة التالية من الأسئلة التي لا أعتقد أنه قد تم طرحها من قبل. يمكنك هندسة الوضع واستخدام التقنيات التحليلية أو المحاكاة الرقمية في محاولة للعثور على الإجابات.
اللغز 2
لنفترض أن هدفنا ليس فقط الهروب من الدب، إنما الهروب بأسرع وقت ممكن (السباح متعب بعد كل شيء). أي من الاستراتيجيات التالية الأكثر كفاءة، و ما هو أسرع وقت للهروب في كل حالة؟
1. اتبع إستراتيجية السنجاب لحد انتهاء إفادتها، ثم اندفع في اتجاه شعاعي (نصف قطري).
2. اتبع إستراتيجية السنجاب لحد انتهاء إفادتها، ثم اندفع في إتجاه آخر.
3. اتبع استراجية السنجاب لبعض الوقت، ثم اندفع في اي إتجاه.
4. اتبع بعض الإستراتيجيات الأخرى بدلا من استراتيجية السنجاب.
لغز 3
افترض من ناحية أخرى أن هدف السباح هو الخروج من البحيرة قبل الدب قدر الإمكان. أي من هذه الإستراتيجيات هو الآن الأكثر فعالية، و ما هي أعظم مسافة يمكن وضعها بينه وبين الدب على طول محيط البحيرة الدائرة؟
1. اتبع إستراتيجية السنجاب لحد انتهاء إفادتها، ثم اندفع في اتجاه شعاعي (نصف قطري).
2. اتبع إستراتيجية السنجاب لحد انتهاء إفادتها، ثم اندفع في إتجاه آخر.
3. اتبع استراتيجية السنجاب لبعض الوقت، ثم اندفع في اي إتجاه.
4. اتبع بعض الإستراتيجيات الأخرى بدلا من استراتيجية السنجاب.
وإليك الآن بعض الأسئلة الإضافية لأولئك الذين لا يستطيعون الاكتفاء من هذا اللغز.
الإضافة 1
هل ستتغير الأفضلية في اتّباع الاستراتيجية للألغاز 2 و3 إذا كان نصف قطر البحيرة 4.5 وحدة على سبيل المثال وسرعة الدب 4.5 أضعاف سرعة السباح؟ (تظل سرعة السباح كما كانت من قبل.)
الإضافة 2
ما هي أعلى نسبة بين سرعة الدب و سرعة السباح التي ستسمح للسباح بالهروب؟ (افترض أن نصف قطر البحيرة بالوحدات يساوي هذه النسبة، و أن سرعة السباح لم تتغير.)
أنا متحمس لمعرفة أنواع الحلول التي توصلت أليها، اترك تعليقا
المصدر:
Can Math Help You Escape a Hungry Bear? | Quanta Magazine
ترجمة:
اميرة ابراهيم
"مهندسه ميكانيكيه، مهتمه في التصنيع والتصميم. احب البحث في كل من علوم النفس المرضيه والعلوم الفيزيائيه والرياضيات. هاويه للسينما."
مراجعة و تدقيق:
زهراء الزاكي
"خريجة بكالوريوس كيمياء - علوم الحياة، هاوية فلكية، مهتمة بعلوم الفيزياء وبكتابة المقالات والشعر العربي"