ملخص مختصر مع الأمثلة
الثنائيات هي معادلات بين الأوصاف (أو الصيغ) المتميزة لنفس النظام المادي. غالبًا ما يشار إلى هذه الأوصاف باسم "إطارات ثنائية" وغالبًا ما تكون مكملة لبعضها البعض.
لماذا قد تتطلب الفكرة الأقوى التي لم تسمع بها من قبل إعادة صياغة جذرية للقوانين ...
كيف يعيد مفهوم يُعرف باسم "الثنائية" تشكيل نظرتنا إلى العالم، ويوفر رؤى حول المجالات التي كانت غامضة في السابق ...
حالة ثنائية بسيطة
يوضح المثال البسيط التالي، الذي نستعيره من فافا Vafa (1998)، الفكرة الأساسية لموضوعنا. في فضاء ثنائي الأبعاد (المستوى الحقيقي مثلا) إذا كانت الخاصية الهندسية صحيحة، فإنها تنطبق أيضًا على انعكاسها.
الشكل 1: ثنائية أولية: انعكاس على المستوى الحقيقي ℝ² (بناءً على فافا (1998)).
الثنائيات: ملخص موجز
• أظهر تحديد الثنائيات الجديدة في تسعينيات القرن الماضي أن نظرية الأوتار الفائقة Superstring Theory ونظرية الحقل الكمومي Quantum Field قدمتا "أوصافًا مختلفة لنفس [الفيزياء] بالضبط". نقلاً عن الفيزيائي الأمريكي الكندي الرائد نيما أركاني حامد:
بحلول عام 1997 أو 1998، كان الشيء الوحيد الذي عرفناه عن نظرية الأوتار هو أنها لم تكن نظرية الأوتار. كانت تحتوي كل أنواع الأشياء الأخرى وكانت الأوتار مجرد جانب واحد منها وكانت الأمور أعمق بكثير. وفي النهاية، نفهم وجود هذه الثنائيات المذهلة التي هي أوصاف مختلفة لنفس الفيزياء بالضبط.
المصدر الكامل للتوتر والدراما في طريقة 1985 للحديث عن نظرية الأوتار هي أن هناك جسيمات قديمة جيدة وتفاعلاتها موافقة لما هو موصوف فيما يعرف بنظرية المجال الكمومي وفجأة ظهر هذا التعميم الجذري الكبير لنظرية الأوتار؛ لقد فهمنا بحلول عام 1997 أو 1998 أن هذه الصور لا تتعارض مع بعضها البعض فحسب، بل هي في الواقع أوصاف مختلفة لنفس النظام تمامًا. ربما تكون هذه هي أعمق فكرة لدينا في الفيزياء النظرية في العقدين الماضيين ". - نعمة أركاني – حامد
• رأينا أيضًا أن الثنائيات هي في الأساس ظواهر خاصة بميكانيكا الكم (انظر سين (1999))، موصوفة بقوانين ميكانيكا الكم.
• أظهرت الثنائيات نتائج جديدة مذهلة في الرياضيات وتوحيد المجالات المتميزة بطرق رائعة.
• باستعارة تشبيه عالم الرياضيات المتميز باري مازور Barry Mazur، فإن الثنائيات "تساهم في كل من الزراعة والبستنة في [الفيزياء والرياضيات]." تتوافق الزراعة مع استخداماتها العملية مثل تحويل النظريات شديدة التفاعل (التي لا يمكن حلها تقريبًا) إلى نظريات ضعيفة التفاعل (الخبز والزبدة للفيزيائيين). تمثل البستنة الطريقة الفريدة لتوسيع مجالات المعرفة لدينا وكذلك التشكيك في الافتراضات الرئيسية بشكل أساسي.
• يتبادلان الكميات الأولية مع الإثارة السولتونية
• يتبادلان شحنات نويثر Noether Charges (المرتبطة ببعض التناظر المستمر) مع الشحنات الطوبولوجية.
• في العديد من الأنظمة الفيزيائية، يوجد تشابه مذهل بين الثنائيات وتحويلات فورييه Fourier transforms. في تحويل فورييه، الإطار الموحد (الذي يشرح الاتصال المزدوج) الذي يحتوي على f (x) وF (p) كحدّين مختلفين (إطارات ثنائية). هذا الكائن الموحد هو توزيع شوارتز Schwartz distribution (أو التوزيع المخفف) u ∈ 𝒟 '(ℝⁿ) محددًا بالازدواجية من مساحة وظائف الاختبار للانخفاض السريع.
• الأوصاف المزدوجة لا يمكن تمييزها تجريبيا.
سيقدم القسم التالي مثالاً مفصلاً سيعيد فحص أهم المفاهيم التي تم وصفها في مقالتي السابقة. سيكون هدفها جعل هذه المقالة بالذات قائمة بذاتها قدر الإمكان.
ملخص الثنائيات
لنبدأ بالنظر في نظام كمي مع بعض من H الهاميلتونية. مثال على نظام كمي يمكن أن يكون حقلًا قياسيًا يحتوي على مصطلح تفاعل رباعي صغير (𝜆≪ 1) وهو نوع من التفاعل الذاتي.
المعادلة 1: كثافة لاغرانج لحقل قياسي مع تفاعل 𝜑⁴ .
تذكر ذلك
حيث أن L هي نظام لانغراجيان Lagrangian ،فإن T هي الطاقة الحركية (طاقة الحركة) و V هي الطاقة الكامنة (طاقة الموضع).
الشكل 2: حقل عددي يتحرك في الزمكان.
لنفترض أننا نريد تقدير طاقة إحدى حالات القيم الذاتية eigenstates الخاصة بها. أولاً، نكتب H الهاملتونية H ≡ T + V (مجموع طاقتها الحركية وطاقتها الكامنة) كمجموع من فترتين (باتباع الخطوات التقليدية لنظرية التقليب Perturbation Theory)):
• الأول هو H₀ الهاملتونية القابلة للحل بدقة.
• يتناسب الثاني مع بعض المعلمات الصغيرة 𝜆 كما في ℒ (𝜑) أعلاه:
المعادلة 2: يتم التعبير عن H الهاملتونية كمجموع من فترتين، وهي H₀هاميلتونية قابلة للحل بالضبط ومصطلح ثان يتناسب مع بعض المعلمات الصغيرة 𝜆.
باستخدام مخطط التقليب على أساس المعادلة 2، يمكننا الحصول على تعبيرات تقريبية للكميات مثل وظائف الارتباط (سعة انتشار الجسيم بين نقطتين) أو قيم التوقع مثل:
المعادلة 3: التوسع المضطرب المستخدم لتقدير القيمة المتوقعة للمشغل 𝒪.
الشكل 3: الاصطدام بين الجسيمات. تتعلق مصفوفة S أعلاه بالحالة الأولية وحالة النظام بعد خضوعه لعملية التبعثر Scattering.
قد تكون قيمة التوقع على الجانب الأيسر مثلا مستوى طاقة الهاملتوني المضطرب (انظر بولشينسكي (2014). المصطلح الثاني في التوسع هو التصحيح الكمي من الدرجة الأولى؛ والثالث هو التصحيح الكمي من الدرجة الثانية وهكذا.
في نظرية المجال الكمي، من الأمثلة الحاسمة لتطبيق المخططات المضطربة تقييم السعة الاحتمالية لأحداث التبعثر أو بعبارة أخرى للعثور على عناصر ما يسمى مصفوفة S الموضحة أعلاه (داخل الشكل أعلاه).
باستخدام مخططات فاينمان Feynman، فإن التوسع في المعادلة 3 يصبح:
الشكل 4: أمثلة لمخططات فاينمان المستخدمة لحساب مصفوفة S وسعة الانتقال ذات الصلة من |p(𝓐), p(𝓑)⟩ → |p₁, p₂⟩. التفاعل الذاتي هو من الشكل 𝜑⁴ .
لكي تنجح العملية، يجب أن يكون العامل الأولي عددًا صغيرًا بدرجة كافية. ومع ذلك، كما أوضح دايسون بالفعل في عام 1952، فإن التوسعات التي تتضمن الغالبية العظمى من الأنظمة الفيزيائية المهمة تنتمي إلى إحدى الفئتين التاليتين:
• عندما تكون 𝜆 صغيرة "بشكل معقول" تكون التوسعات تقاربية فقط، مما يعني أنها تتحلل بسرعة كبيرة على الرغم من عدم تقاربها. نتيجة لذلك، قد يؤدي الاختزال إلى نتائج ملحوظةوأحيانًا مذهلة. الاتفاق بين القيم التجريبية والقيم المتوقعة للميون (جسيم أولي مشابه للإلكترون في جوانب معينة) العزم المغناطيسي مثير للإعجاب:
المعادلة 4: مقارنة بين قيم العزم المغناطيسي ثنائي القطب للميون التي تم الحصول عليها تجريبياً وعن طريق تطبيق QFT
• عندما تتباعد التوسعات في 𝜆 ~ 𝓞 (1) وتفقد أي قوة تنبؤية. أشهر مكان يحدث فيه هذا يسمى حبس الكوارك وهو ظاهرة غير مضطربة في الأساس. تم تطوير عدد قليل من الطرق لمعالجة المشاكل المادية في نظام 𝜆 غير المضطرب. إلا أن نطاق قابليتها للتطبيق محدود (بولشينسكي 2014))) ولا يزال هناك نقص في نهج منهجي.
كما ذكرنا سابقًا، يمكن أن تكون الثنائيات (أو بشكل أكثر تحديدًا ثنائية S) أداة فعالة للتحقيق في الأنظمة شديدة الاقتران (ذات الخصائص غير المضطربة). يمكن فهم هذا بسهولة على النحو التالي.
على الرغم من أنه يمكن كتابة هاملتونية للأنظمة المزدوجة بعدة طرق مختلفة، إلا أن الميزات التالية موجودة عادة:
• هاميلتوني حر مع نموذج بسيط إذا تم التعبير عنه من حيث الحقول 𝜑.
• هاملتوني مزدوج حر يكون بسيطًا عند كتابته من حيث الحقول المزدوجة 𝜑 '.
• سيكون للحقول 𝜑 و 𝜑' علاقة غير متكافئ للغاية.
• إذا كانت الثنائية المعنية هي S-duality، فإن أدوات الثنائيتين 𝜆 و ' 𝜆 ستكون متناسبة عكسيًا. ومن ثم، إذا كانت 𝜆 في H (𝜑) كبيرة وتتوافق مع مشكلة معقدة ، فإن H '(𝜑') ستصف مشكلة أسهل بكثير يمكن حلها عبر نظرية الاضطراب.
المعادلة 5: مشاهدة الثنائية S باستخدام هاميلتوني للنظام الكمومي.
• لاحظ أن المشكلة في المعادلة 5 لها ثابت اقتران واحد فقط. ولكن في كثير من الحالات يحتوي H على العديد من ثوابت الاقتران والعديد من الصيغ المزدوجة.
• درجات الحرية ذات الصلة في المنطقة التي يكون فيها الاقتران قويًا (بعيدًا عن العطفات Cusps) قد يكون لها درجات أساسية من الحرية تختلف تمامًا عن تلك التي تصف الفيزياء عند العطفات.
• التوقع بأنه في حالة الجاذبية، فإن 𝜆 → ∞ الكبير سيكون مرتبطًا بشدة بالتقلبات الهندسية ويتغير بشكل جذري في وجود الثنائية S S-duality. تصبح النظرية 𝜆 → ∞ معادلة للنظرية الكلاسيكية
𝜆 → 0.
الحساب باستخدام تكاملات المسار
يمكن وصف الثنائية S بطريقة أكثر توضيحًا باستخدام تكاملات المسار (يعتمد هذا التحليل على بولشينسكي((2014)). للتأكد من ذلك، دعونا ننظر في الحالة المحددة لنظرية يانغ ميلز Yang-Mills Theory. نقلا عن ويكيبيديا:
تعد نظرية يانج ميلز جوهر توحيد القوة الكهرومغناطيسية والقوى الضعيفة ... بالإضافة إلى الديناميكا اللونية الكمومية، وهي نظرية القوة الشديدة. وبالتالي فإنه يشكل أساس فهمنا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.
إذا عبرنا عن النظرية باستخدام جهد متجه معاد قياسه A '= 𝜆A واحتفظنا بجميع الثوابت (بدلاً من ضبطها على 1 كالمعتاد)، فمن البديهي إظهار أن العامل المسبق للإجراء في المتغيرات الأصلية يصبح i/(𝜆²ℏ) وتكاملات المسار فوق A تأخذ الشكل التالي
المعادلة 6: السعات الكمومية لنظرية يانغ ميلز Yang-Mills تتناسب مع تكاملات المسار هذه بعد إعادة قياس جهد الكمية الموجهة A.
يصبح توسع السلسلة في المعادلة 3 كما يلي:
المعادلة 7: تمدد السلاسل مع المعلمة 𝜆²ℏ.
الشكل 5: رسم تخطيطي لمساحة المعادلات لنظرية الكم. تكون بالقرب من العطفات cusps 𝜆 → 0 وℏ → 0 (حد شبه كلاسيكي). تتوافق هاتان النقطتان مع نظريتين تصفان أنظمة مختلفة.
وبالتالي نرى أن تمددًا صغيرًا 𝜆 يعادل تمددًا صغيرًا ℏ. لذلك، إذا كان ℏ صغيرًا فإن أس المسار المتكامل على A يتأرجح بسرعة ويبلغ التكامل أقصاه عندما يكون الإجراء ثابتًا حيث تكون ذروته عالية. ومع ذلك، إذا كان كبيرًا يكون الأس صغيرًا، ولا يتم بلوغ ذروة التكامل بشكل خاص (التقلبات الكمية كبيرة).
عادة، لن نتمكن من استنباط الاستنتاجات ذات الصلة في هذه الحالة الثانية. ومع ذلك، إذا كان النظام يعرض ثنائية S S-duality ، 𝜆 → 1 / وتصبح معلمة التمدد:
المعادلة 8: تطبيق تطابق الثنائية S S-duality بين أدوات التوصيل.
تصل العملية الآن إلى ذروتها. هذا التغيير في المعلمات يعني ضمنيًا أننا وجدنا حقولًا جديدة بسلوك شبه كلاسيكي. نحن على دراية بهذا النوع من التغيير المتحول الذي يغير مدى ذروة التكامل: يحدث هذا عندما نستخدم تحويلات فورييه.
النظرية الأساسية الوحيدة هي نظرية الكم الكاملة.
قد تبدو حقيقة أن الحد شبه الكلاسيكي ليس فريدًا أمرًا غريبًا. يوضح لنا هذا المثال البسيط أننا ودون أن نلاحظ نفترض بسذاجة أن نظريات الكم والنظريات الكلاسيكية لها تطابق 1 - 1 على ℏ. تغيير الكميات التي نحتفظ بها ثابتة، مع الأخذ في الاعتبار أن الحد الصغير أو الكبير قد يؤدي إلى عدة نظريات شبه كلاسيكية مختلفة تمامًا. ومن المثير للاهتمام كذلك أنه لا نظرية من هذه النظريات تعتبر أكثر جوهرية من أي شيء آخر! ومن الأمثلة على ذلك نظرية تحتوي على أقطاب أحادية كهربائية ومغناطيسية تخضع لشرط تكميم ديراك Dirac’s quantization condition. اعتمادًا على الشحنة التي نحددها، فإن السعات لها أشكال مختلفة تمامًا (انظر سين Sen (2000) للمزيد من التفاصيل). كما لوحظ سابقًا، فإن النظرية الأساسية الوحيدة هي نظرية الكم الكاملة.
دعونا الآن ننظر في بعض الأمثلة المعروفة. وتجدر الإشارة إلى أن هذه الأمثلة تمثل عينة صغيرة من الثنائيات المعروفة حاليًا.
أمثلة
كانت الثنائيات الأولى التي تم اكتشافها هي ثنائية الموجة والجُسيم والثنائية الكهرومغناطيسية الموصوفة بالتفصيل في مقالتي الأخيرة. واحدة من أولى الثنائيات التي يمكن ملاحظتها بعد ذلك كانت ازدواجية كرامر-وانير Kramers–Wannier duality الشهيرة.
ثنائية كرامر – وانير
في عام 1941، اكتشف الفيزيائيان هانز كرامرز وجريجوري وانير ازدواجية كرامر - وانير في تحليلهما لنموذج إيسينج Ising model ثنائي الأبعاد على شبكة مربعة الشكل.
على الرغم من أن النموذج تم حله بدقة فقط في كتاب أونساجر Onsager (1944)، حدد كرامر ووانير ما يسمى بدرجة الحرارة الحرجة للنظام حيث يحدث التحول الطوري phase transition باستخدام طرق تعتمد على الثنائيات.
نموذج إيزينج Ising هو نموذج رياضي بسيط مخادع تم تطويره في الأصل لدراسة الأنظمة المغناطيسية الحديدية. يتم الحصول عليه على النحو التالي:
• نبدأ بشبكة مربعة تحتوي على مواقع 𝒩 = M × N (انظر الشكل أدناه) حيث M → ∞ و N → ∞ ونضع متغير "دوران" منفصل s ∈ {+1، −1} في كل موقع.
• لنفترض الآن أنه بالنسبة إلى أي موقعين متجاورين من مواقع الشبكة i و j، يوجد تفاعل J (نختار أن يكون ثابتًا للتبسيط) وتتفاعل اللفات المجاورة فقط (بمعنى آخر، يكون التفاعل غير صفري فقط
بين أقرب الجيران المشار إليها بواسطة ⟨ij⟩).
يتم إعطاء وظيفة التقسيم للنظام تصف خصائص النظام الإحصائي في حالة توازن، بواسطة
المعادلة 9: وظيفة التقسيم لنموذج إيزينج Ising.
حيث يكون المجموع الأول فوق متغيرات الدوران في المواقع الشبكية ويقتصر المجموع في الأس على أقرب الجيران فقط.
يحتوي النموذج على نظامين متباعدين لإجمالي متوسط المغناطيس:
• عندما يكون T → ∞ يتسبب التذبذب العشوائي للدوران في اختفاء المغنطة (التي تُعرف بمتوسط الدوران لكل موقع) ⟨M⟩ = 0. يحدث هذا رياضياً لأن جميع المصطلحات في Z (T) كل منها يتوافق مع تكوين مختلف من الدورات، ستصبح مساوية لواحد. نظرًا لأنه يتم توزيعها عشوائيًا في نظام T العالي في المتوسط فإنها تلغي بعضها البعض.
• عندما يكون T → 0 ستتوجه جميع الدورات في اتجاه ثابت، والذي سيكون في هذه الحالة لأعلى (sᵢ = 1 لكل i) أو لأسفل (sᵢ = -1 لكل i) - متوسط المغناطيسية ⟨M⟩ → ± 1.
الشكل 6: الفيزيائيان هانز كرامر وغريغوري وانير. يوضح الشكل أيضًا ملخص الورقة البحثية الأساسية حيث اكتشفا أحد الأمثلة الأولى على الثنائية التي تسمى ثنائية كرامر-وانير.
بالتحديد وجدا مخططًا فرديًا يربط خصائص نموذج إيزينج Ising في درجات حرارة منخفضة بخصائص نموذج إيزينج Ising آخر في درجات حرارة عالية. إحدى هذه الخصائص هي الطاقة الحرة، التي استخدمها المكتشفان لتحديد ما يسمى بدرجة الحرارة الحرجة للنظام (حيث يحدث التحول الطوري).
يتم توضيح الانتقال بين الحالات المضطربة والمرتبة أدناه.
الشكل 7: نموذج إيزينج Ising محاكاة ثنائي الأبعاد يمر بمرحلة انتقالية من حالة مضطربة إلى حالة مرتبة
للتوضيح دعونا نفحص بإيجاز الأساس المنطقي لعملهما. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في باكستر (1990) مثلا.
نظرة متفحصة لبحثث ثنائية كرامر ووانير
كما ذُكر أعلا، اعتبر كرامر ووانير (الذي سأشير إليه من الآن فصاعدًا باسم KW) نموذج إيزينج Ising مربعًا ثنائي الأبعاد يحتوي على دوران متفاعل عند درجة حرارة مطلقة T. يتم تحديد الاتجاهات (هذا التعريف يجعل الشبكة مكافئة طوبولوجيًا للحلقة). يتميز التفاعل بين الدورات المجاورة الأقرب بثابتين مختلفتين من أدوات التوصيل: أحدهما في الاتجاه الأفقي والآخر في الاتجاه الرأسي. يتم الإشارة إلى هذه بواسطة J و J * على التوالي.
الشكل 8: الشبكة الأصلية (النقاط الصلبة) والشبكة المزدوجة (النقاط المجوفة) في نموذج كرامر ووانير
يتم إعطاء وظيفة التقسيم التي تصف خصائص النظام من خلال:
المعادلة 10: وظيفة التقسيم لنموذج إيزينج Ising ثنائي الأبعاد على شبكة مربعة يستخدمها كرامر ووانير.
يشير وجود المصطلحين داخل الأقواس إلى أن، كما ذكرنا سابقًا، اقتران الدوران الدوراني في الاتجاهين الأفقي (المشار إليه بواسطة المؤشر الفرعي H) والعمودي (المشار إليه بواسطة المؤشر الفرعي V) (يُسمح به) مختلفًا مع القيم المعرفة في وسيطة Z (N) على الجانب الأيسر من المعادلة. تضمنت استراتيجيتهم لإيجاد درجة الحرارة (الحرجة) للمرحلة الانتقالية بناء شبكة مزدوجة. نظرًا لأننا مهتمون بشكل أساسي باستخدامهم للثنائيات، فلن أخوض في التفاصيل المتعلقة بالتعقيدات الهندسية لبنائها (كما أقترح باكستر Baxter (1990) الذي يقدم وصفًا ممتازًا).
للعثور على درجة الحرارة الحرجة، قارن كرامر ووانير توسعات درجة الحرارة المنخفضة والعالية لوظيفة التقسيم ووصل إلى التعبير التالي:
حيث يمثل r و s على التوالي عدد الجيران المختلفين في الاتجاهين الرأسي والأفقي ويكون المجموع فوق المضلعات في الشبكة. يتم إعطاء المعلمات (K * ، L *)، من خلال العلاقات الثنائية التي استخدمها كرامر ووانير أدناه للحصول على العلاقة بين وظائف القسم المكتوبة من حيث المتغيرات المزدوجة (K * ، L *) و (K ، L):
المعادلة 11: التحويلات الازدواجية التي حصل عليها كرامر ووانير والعلاقة المقابلة بين وظائف القسم المكتوبة من حيث المتغيرات المزدوجة.
باستخدام علاقات الازدواجية تحصلا على:
المعادلة 12: يتم الحصول على هذه المعادلات المتماثلة من العلاقات الثنائية أعلاه باستخدام العلاقات المثلثية البسيطة.
والتي تعادل التطابقات التالية بين التفاعلات المزدوجة:
المعادلة 13: التطابق بين التفاعلات المزدوجة.
ثم تم الحصول على KK في حدود الديناميكا الحرارية على التعبير التالي للطاقة الحرة:
المعادلة 14: معادلة الطاقات الحرة التي تم الحصول عليها من العلاقة الازدواجية في المعادلة 2.
لاحظ أنه وفقًا لرسم خرائطهم، فإن رفع درجة الحرارة في إحدى النظريات يعادل خفض درجة الحرارة في نظرية أخرى. في حالة توحد الخواص K = L ، يشير وجود نقطة حرجة في إحدى النظريات إلى وجود نقطة حرجة في نظريتها الثنائية:
إذا كانت هناك نقطة حرجة فريدة، فإن قيمتها هي:
المعادلة 15: درجة الحرارة الحرجة للانتقال بين درجات الحرارة المنخفضة (المطلوبة) ودرجات الحرارة المرتفعة (المضطربة) لنموذج إيزينج Ising المربع ثنائي الأبعاد.
وباستخدام العلاقات الثنائية قاموا بتحديد درجة الحرارة الحرجة لانتقال طور النظام. يوضح الشكل أدناه النتائج الأخرى التي تم الحصول عليها في الورقة.
الشكل 9: العلاقة بين تقاطعات الطاقات الذاتية بين المنطقتين الأولى والثانية. يتم ترك جميع النقاط على المنحنى دون تغيير.
استخدام البوزونات Bosonization في أبعاد 1 + 1 والثنائيةبين نماذج Sine-Gordo ونموذج الإثارة الكبيرة Massive Thirring
لفهم هذا المثال بشكل أفضل، من المفيد أولاً فحص الحالة المباشرة لما يسمى بـمكمن الخلل "kink".
مكامن الخلل kinks
فلننظر إلى معادلة لاغرانج أدناه. عندما يكون البعد N للحقل 𝜑 هو N = 1 ويتم اختيار واحد من الفراغين 𝜑 = ± v بواسطة النظام فإنها تتعطل هناك لأن هذه الإمكانية (في سياق نظرية المجال الكمومي) لا تسمح بالبروتوكول النفقي (يحدث هذا لأن ارتفاع الحاجز المحتمل لا نهائي تقريبًا).
الشكل 10: الإمكانية الرباعية للبعد (φ) = N = 1. الحالة الأرضية ثابتة والبروتوكول النفقي ممنوع.
تسمى الحالة الأساسية التي يفترضها 𝜑 قيمة توقع الفراغ (VEV). مع كسر التناظر التلقائي (SSB) يتم إنشاء حقول كمومية جديدة. تتوافق مع التذبذبات حول الحد الأدنى من الإمكانات. في هذه الحالة الحقول الجديدة هي ميزونات ذات كتلة
المعادلة 16: كتلة الميزونات المتولدة بعد كسر التناظر تلقائيًا.
لحقل عددي في زمكان بأبعاد (1 + 1). في زمكان وبهذه الأبعادبعد كسر التناظر التلقائي SSB، يختار النظام واحدًا من فراغين 𝜑 = ± v ويبقى هناك (على عكس ميكانيكا الكم العادية، حيث يمكن أن يحدث النفق الكمي). بشكل مضطرب، سيتم إنشاء ميزونات جديدة (اهتزازات صغيرة حول الفراغ).
ولكن هناك أيضًا تأثيرات غير مضطربة في الحركة: السوليتونيات الطوبولوجية والتكوينات الميدانية الجديدة التي تظهر بعد كسور التناظر التلقائي SSBs.
مكامن الخلل هي أبسط مثال على السوليتونات الطوبولوجية. إنها تكوينات مجال مستقلة عن الوقت 𝜑 (x) (هنا x هي إحداثيات مكانية فقط) لها البنية المكانية الموضحة أدناه:
الشكل 11: حل مكمن kink. الحقول φ في ± "تعيش" في فراغ مختلف.
كثافة الطاقة لـ 𝜑(x) بعيدة عن x₀ بمقدار صفر. نظرًا لأن النظام في أحد الفراغين، فإن كثافة الطاقة 𝜀 (x) أدناه تساوي صفرًا. بالقرب من x₀، تصبح كثافة الطاقة:
المعادلة 17: كثافة الطاقة ε (x) لمكمن الخلل.
الشكل 12: كتلة الطاقة (الكثافة) ε (x) لمكمن الخلل، منتشرة على منطقة طولها ~ l.
لاحظ الآن أن:
• تمركز مكمن الخلل وكثافة الطاقة بشكل كبير على منطقة طولها l بترتيب الطول الموجي كومبتون للميزون χ الذي تم الحصول عليه بشكل مضطرب من قبل. الطول l ~ 1 / μ.
• الثبات الانتقالي يعني أنه يمكننا اختيار x₀ لتكون في أي مكان في المحور السيني، وبواسطة ثبات لورنتز يمكن أن تتحرك بأي سرعة.
ومن ثم من خلال تغيير λ أو u، يمكننا تقليل حجم السوليتون soliton بنفس القدر إلى وقت غير محدد، مما يجعله في النهاية يبدو وكأنه جسيم نقطي (وهو ما نسميه مكمن الخلل kink). كتلة وطول شبك هي
المعادلة 18: كتلة وحجم مكمن الخلل
من خلال زيادة الكتلة μ في كثافة لاغرانج، نستنتج أن مكمن الخلل يمكن أن يتصرف مثل الجسيم.
لاحظ مع ذلك، أنه على الرغم من أن أحجام مكمن الخلل kink وميزون meson لها نفس الترتيب من حيث الحجم، بالنسبة للاقتران الصغير λ، فإن مكمن الخلل أكبر بكثير من الميزون. وبالتالي، لا يمكن أن يتحلل مكمن الخلل إلى ميزونات ويقال إنه مستقر طوبولوجيًا. يمكننا حساب شحنة السوليتون والتيار الطوبولوجي لتأكيد هذه الفرضية. التيار طوبولوجي وليس تيار نويثر لأنه لا يرتبط بأي تناظر. إنه محفوظ
لمجرد أن ε غير متماثل. بدمج التيار على x، نحصل على:
المعادلة 19: تيار وشحنة مكمن الخلل.
نظرًا لأن الميزونات هي مجرد تذبذبات مجال محلية صغيرة حول الفراغ، فإن لها Q = 0 بينما يكون لمكمن الخلل Q = 1. وهذا يؤكد استحالة حدوث انحلال من السوليتونات إلى الميزونات. ومع ذلك، يمكن لمكمن الخلل أن يصطدم بمضاد للتشابك (المقابل للفراغ الآخر φ (-∞) = -v) وبالتالي توليد الميزونات لأنها الفراغ عن طريق الإبادة لأنها تمثل الفراغ. هذا ممكن لأن البنية أدناه
تملك طاقة قريبة من طاقة φ (x) = v.
الشكل 13: مكمن الخلل ومضاد مكمن الخلل يصطدم بالسرعات ويتدمر.
لاحظ الطبيعة غير المضطربة جوهريًا لمكمن الخلل. له كتلة تعتمد عكسياً على الاقتران λ، وبالتالي فهي تكوين غير مضطرب بطبيعته وغير مرئي لنظرية الاضطراب.
باستخدام إحدى متباينات Bogomol’nyi (وهي عدم المساواة في حلول PDEs اعتمادًا على فئة مثلية التوضع lhomotopy للحل عند اللانهاية)، يمكننا تحديد حد لكتلة مكمن الخلل. بعد عملية حسابية بسيطة، يتم الحصول على الحد الأدنى M ⩾ | Q | للكتلة (انظر Zee لمعرفة الخطوات الوسيطة). لاحظ أنه يتم التعبير عن الكتلة بوحدات
الشكل 14: السوليتون في قناة الموجة المختبرية.
التكافؤ بين نموذج الجيب الكمومي (sG) ونموذج Thirring الضخم (MT) معروف بشكل خاص.
هذه الثنائية هي حالة خاصة لظاهرة أكثر عمومية تسمى البوزونات bosonization ، صاغها بشكل مستقل اثنان من علماء فيزياء الجسيمات هما سيدني كولمان وستانلي ماندلستام، واثنان من فيزيائي المادة المكثفة دانيال سي ماتيس وألان لوثر في عام 1975.
بإختصار، سأركز على المقال الشهير لسيدني كولمان حيث يعرض التطابق بدقة في إطار نظرية الاضطراب.
تصف النماذج أدناه على التوالي:
• الحقول العددية الكمية 𝜑 (x) مع تفاعل (كثافة) يتناسب مع cos (𝛽𝜑 (x)). للقدرة عدد لا حصر له من الحدود الدنيا للشكل (انظر الإجراء أدناه) 𝜑 = 2πn / β حيث n = 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ... وهكذا (توجد حالة فراغ لكل n ∈ ℤ). عملها هو:
المعادلة 20: عمل نموذج سيني جوردون Sine-Gordon، الذي يصف الحقول العددية عديمة الكتلة في أبعاد (1 + 1). كثافة التفاعل تتناسب مع cos (𝛽𝜑).
• حل المعادلة الكلاسيكية للحركة التي تربط بين حدين متجاورين 𝜑 (-∞) = 0 و 𝜑 (∞) = 2𝜋 / لنموذج جيب-جوردون ، هو:
المعادلة 21: حل المُغير الكهروضوئي EOM مشتق من نموذج sG.
الحلول لنموذج سيني جوردون sine-Gordon موضحة أدناه.
الشكل 15: يتم عرض تطور حلول السوليتون ومضاد السوليتون الخاص بـِ لـ sGE الكلاسيكي. إنها مكامن الخلل في الاتجاهات المعاكسة في بنية 𝜑 (x). يظهر تطور 𝜑 (x). كل سطر من الأمام إلى الخلف عبارة عن تكوين 𝜑 (x) متتالي.
باستخدام تمدد القدرة لإمكانية sG حول الحد الأدنى عند 𝜑 = 0، يصبح من الواضح أن قوة التفاعل بين التذبذبات الصغيرة حول 𝜑 = 0 (الميزونات) تتناسب مع (مربع) المعلمة β:
المعادلة 22: تحديد قوة التفاعلات بين الميزونات باستخدام تمدد سلسلة القدرة للجهد حول 𝜑 = 0.
• حقول ديراك الكمومية الضخمة ذاتية التفاعل ψ (x) بالإجراء التالي:
المعادلة 23: نموذج ثاريرنج Thirring الذي يصف حقول ديراك الضخمة ذاتية التفاعل.
يحتوي الحقل ψ (x) على مكونين (انظر أدناه) ومصفوفات جاما ثنائية الأبعاد هي:
المعادلة 24: نموذج ثايرنج Thirring الذي يصف التفاعل الذاتي الهائل
يمكن إزالة جميع الاختلافات فقط عن طريق الترتيب الطبيعي لنظريات هاميلتون في المجال القياسي في بعدين مع إمكانات غير مشتقة.
من خلال تقييم الوظائف الخضراء لكلا النموذجين، وجد كولمان أن كلا النموذجين متكافئان بشرط أن تكون المعلمات g وتفي بالعلاقة
المعادلة 25: وجوب أن تكون المعلمات g و βيجب أن تمتثل للنماذج لتكون ثنائية مع بعضها البعض (انظر كولمان 1975).
لاحظ أنه عندما يكون:
• g → ∞ ⇒ 𝛽 → 0
• 𝛽 → ∞ ⇒ g → -𝜋
اقتران قوي في نموذج سيني جوردون (البوسني) (bosonic) sine-Gordon يتوافق مع اقتران ضعيف في نموذج ثايرنج Thirring (الفرميوني)، والعكس صحيح. هذا مثال على الثنائية S في كل مكان (ثنائية قوية-ضعيفة). يجد كولمان أيضًا العلاقات الثنائية بين مشغلي المجال البوزوني وديراك من خلال إظهار أن كلا النظريتين لهما نفس الارتباطات في الحالة عديمة الكتلة. نقوم بعد ذلك بتغيير شكل TM نحو قيمة كتلة غير صفرية، مما يدل على التغيير المقابل في نموذج sG، بشرط أن تكون المراسلات التالية مثبتة:
المعادلة 26: الارتباط بين المشغلين لكلا النموذجين الذين لها نفس الارتباطات.
العلاقة الدقيقة بين النماذج تعتمد على قيمة 𝛽² / 4𝜋 كما هو موضح أدناه:
كان كولمان قادرًا على إظهار أن نوعًا من السوليتون في نظرية SG يمكن تحديده مع الفرميون الأساسي لنموذج ثايرنج Thirring. علاوة على ذلك، φ (x →-) ≠ φ (x → ∞)، مما يعني أن درجة الحرية الأساسية لنموذج sG غير محلية عند التعبير عنها من حيث الدرجة الأساسية للحرية لنموذج ثايرنج Thirring.
في القسم الأخير من ورقته البحثية عام 1975، قدم كولمان التخمين التالي:
"السوليتون الكمي هو فرميون وهو في الواقع الفرميون الأساسي لنموذج ثايرنج Thirring الضخم."
ثم يُبدي كولمان ملاحظته: "وهكذا، أنا منقاد إلى تخمين شكل من أشكال الثنائية أو الديمقراطية النووية [...]، لهذه النظرية ثنائية الأبعاد. نظرية واحدة لها وصفان صحيحان متساويان من حيث نظرية المجال لاغرانج: نموذج ثايرنج Thirring الضخم ومعادلة الجيب-جوردون الكمومية. الجسيمات الأساسية في أحد الوصفين مركبة في الآخر: في نموذج ثايرنج Thirring، يكون الفيرميون أساسيًا والبوزون هو حالة مرتبطة بالفرميون ومضاد الجراثيم؛ في معادلة الجيب-جوردون، البوزون أساسي والفيرميون حالة مرتبطة متماسكة. في وصف نموذج ثايرنج Thirring، عندما يذهب ثابت الاقتران إلى ما لا نهاية، تذهب كتلة الحالة المقيدة إلى الصفر؛ في وصف سين جوردون sine-Gordon مع اختفاء ثابت الاقتران، تذهب كتلة الحالة المتماسكة المرتبطة إلى ما لا نهاية؛ هذه طريقتان فقط لوصف سلوك نسبة كتلة واحدة في حد واحد. "
بعد فترة وجيزة من مقال كولمان، أوضح ماندلستام Mandelstam (1975) أنه يمكننا أن نعبر عن (مكونات) المجال الفرميوني ψ (x) من حيث المجال البوزوني 𝜑 (x) على النحو التالي (تشير ":" إلى الترتيب الطبيعي):
المعادلة 27: مكونات المجال الفرميوني ψ (x) بدلالة المجال البوزوني 𝜑 (x).
باعتبار C ثابتًا، هذه الحقول الكمومية تخلق وتفني السليتون من نظرية جيب-جوردون. يتم التعبير عنها من حيث الحقول البوزونية ولكنها في الواقع فرميونات.
الشكل 16: الفيزيائي النظري الأمريكي ستانلي ماندلستام والمقال الذي أنشأ فيه عوامل الخلق والإبادة المقابلة للسيليتون ـ SG solitong.
النتيجة التجريبية للبوزونات Bosonization
في عام 2020، نجح باحثون من جامعة هونغ كونغ للعلوم والتكنولوجيا وجامعة بوردو في محاكاة نظام تعرض فيه الفرميونات السلوك البوزوني. افرتضوا وجود غاز فيرمي ثلاثي الأبعاد مع تناظر SU (N) (ومن ثم فإن لكل نكهات N دوران خاص بها) ووجدوا دليلًا على وجود بوزنة في جهات الاتصال وهي كميات مرتبطة باحتمال أن تقترب الفرميونات ذات الدورات المعاكسة من بعضها البعض. علاوة على ذلك، فإن حقيقة أن جهات الاتصال تحكم جميع الكميات الديناميكية الحرارية للنظام بشكل أساسي تشير أيضًا إلى أن الفرميونات تتصرف مثل البوزونات.
الشكل 17: قام باحثون من جامعة هونج كونج للعلوم والتكنولوجيا وجامعة بوردو مؤخرًا بمحاكاة نظام تظهر فيه الفرميونات خصائص بوزونية.
ثنائية الدوامة بأبعاد 2 + 1
أولاً، اسمحوا لي أن أشرح ما هي الدوامة الطوبولوجية.
لمحة سريعة: ما هي الدوامات الطوبولوجية؟
ضع في اعتبارك حقلًا قياسيًا معقدًا 𝜑 في زمكان بأبعاد 2 +1
المعادلة 28: المجال القياسي المعقد مع الأجزاء الحقيقية والخيالية التي يقدمها المكونان الحقيقيان لـ 𝜑.
حجم الفراغ المراد تعريفه ليكون | v |. لاغرانج هو:
المعادلة 24: كثافة لاغرانج في مجالنا القياسي المعقد.
وهو متماثل تحت U (1). لاحظ أنه مع هذا الاختيار للمصطلح المحتمل، يتلاشى حجم الفراغ. الاحتمال هو "القبعة المكسيكية" العادية الموضحة أدناه.
الشكل 18: احتمالية "القبعة المكسيكية" أو "زجاجة النبيذ المزروعة" مع بعد (𝜑) = 2.
كما سنرى للحظات، تحتوي هذه النظرية على السوليتونات solitons. بالنسبة لبعض التكوين الثابت، يتم إعطاء الكتلة (أو الطاقة) بواسطة:
المعادلة 25: كتلة التكوين المستقل عن الوقت 𝜑.
لتجنب السلوك المتشعب عند r = | x | → ∞ نقيد مساهمة إعداد المصطلح الثاني | 𝜑 (r → ∞) | = v. نجعل النهج Ansatz التالي في r → ∞ (بعد Zee):
المعادلة 26: النهج Ansatz لـ 𝜑 عند اللانهاية المكانية.
لاحظ أن هذه المعادلة تتعلق باتجاه 𝜑 في المستوى المركب الداخلي بالزاوية 𝜽 في الزمكان. المتجه (𝜑₁ ، 𝜑₂) يشير إلى الخارج عند r → ∞. تدفق 𝜑 عند r → ∞ يدور ويسمى دوامة (أو مضاد للدوامة إذا كان يدور في الاتجاه المعاكس، والدوامة هي عيب نقطي في بعدين.
الشكل 19: أمثلة على الدوامات ومضادات الدوامات التي لها أرقام لف مختلفة.
تكمن المشكلة الآن في أن المصطلح الأول من M الذي يتباعد لوغاريتميًا عند r → ∞. حساب هذا بسيط للغاية:
المعادلة 27: تستمر طاقة الدوامة في التباعد (a هو بعض القطع).
حيث يوجد a بعض القطع. وبالتالي، فإن الدوامة المفردة غير مستقرة
تم التنبؤ به من خلال نظرية ديريك، والتي توضح أن الأجسام الطوبولوجية الثابتة المترجمة في أكثر من بُعد مكاني واحد غير مستقرة بالنسبة لنظريتنا.
لحل ذلك، نستبدل مشتقاتنا الشائعة ∂φ بمشتقات معيارية.
المعادلة 28: استبدال ∂φ بـِ Dφ لتجنب تباعد M.
الآن، في r → ∞ ، نحتاج أن يكون الفرق بين المصطلحين في مشتقات القياس أسرع من 1 / r. نحصل:
المعادلة 29: المتطلبات التي نفرضها لتجنب الاختلاف في M.
هذا يعادل اختيار المقياس التالي:
يمكننا أن نحسب بسرعة من خلال نظرية ستوك، التدفق المغناطيسي عند r → ∞ معبرًا لدائرة C بنصف قطر كبير بلا حدود (على افتراض أن A هو جهد المقياس الكهرومغناطيسي المعتاد):
المعادلة 30: التدفق عند r → عبور دائرة بنصف قطر كبير غير محدود C.
يتناسب التدفق عكسيا مع الشحنة. دوامة مثل هذه لوحظت تجريبياً بالفعل في النوع الثاني من الموصلات الفائقة (أنبوب التدفق). هذه الموصلات الفائقة لها مرحلة وسيطة حيث تتعايش الخصائص العادية وخواص الموصلية الفائقة.
لشكل 20: يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار مخطط طور (B ، T) لموصل فائق من النوع II. هناك نوعان من كثافات التدفق المغناطيسي الحرجة. في المنطقة السفلية، يُظهر تأثير مايسنر. في المنطقة الوسيطة، تتشكل دوامات المجال المغناطيسي الموصوفة في النص. فوق هذه المنطقة، تتصرف المادة كموصل عادي. على اليمين، نرى الدوامات التي تم إنشاؤها في المرحلة الوسيطة للمركب الكيميائي البلوري الإيتريوم الباريوم وأكسيد النحاس (المصدر).
في هذا القسم الأخير، سأبدأ بنظام الدوامات وأظهر أنه يمكننا كتابة نظرية مزدوجة حيث تظهر الدوامات على أنها "شحنات" نقطية. بمعنى آخر، نظرية ثنائية حيث يخلق الحقل الأساسي الدوامات ويقضي عليها (بدلاً من φ كوانتا). ضع في اعتبارك كثافة لاغرانج:
المعادلة 31: تقترن كثافة لاغرانج هذه بحقل عددي في (2 + 1) أبعاد لإمكانات مقياس كهرومغناطيسي خارجي مع شحنة q.
في زمكان ذي أبعاد (2 + 1) يقرن مجالًا قياسيًا معقدًا φ إلى مقياس كهرومغناطيسي خارجي محتمل A مع شحنة q. يتم إعطاء الجهد V من خلال الإمكانات في Eq. 24. يمكننا دائمًا كتابة φ على النحو التالي:
المعادلة 32: اختيارنا لمعلمات المجال.
كما رأينا أعلاه، لتقليل احتمال V، نحصل على حالة أرضية متدهورة بلا حدود φ. بتوصيل اختيارنا للفراغ، | φ | = + v، يتلاشى الجهد القياسي V = 0. منذ φ إسقاط المصطلحات التي تحتوي على تغيرات زمنية أو مكانية (نظرًا لأنها يمكن أن تزيد فقط L وتوصيل النتيجة بكثافة لاغرانج نحصل عليها:
المعادلة 33: اختيار كثافة لاغرانج | φ | = V.
كما رأينا سابقًا، يحتوي طيف هذا النظام على دوامات ودوامات مضادة تقع حيث | φ | = 0. إذا كان لدينا Δθ = 2π بالقرب من صفر | φ | لدينا دوامة. إذا كان لدينا Δθ = -2π ، فلدينا مضاد القشرة المخية. حول دوامة أثناء الراحة، يجب أن يكون لدينا:
المعادلة 34: الشرط الضروري حتى لا تتباعد طاقة الدوامة.
باستخدام نظرية ستوكس، نحصل على التدفق المغناطيسي من خلال أنبوب الدوامة
المعادلة 35: التدفق المغناطيسي عبر الأنبوب الدوامي محدد كميًا بوحدات 2π / q.
والتي يتم قياسها بوحدات 2π / q. لاحظ أيضًا أن الشحنة q للحقل φ تظهر في مقام التدفق.
الآن، وباتباع زي Zee، دعونا نحاول فهم ما يحدثفيزيائيًا. لنأخذ في الاعتبار دوامة واحدة ومضادها مفصولين بمسافات أكبر من مقاييس الطول الخاصة بالنظرية. لذلك ستبدو الدوامات وكأنها جسيمات تشبه النقطة. كما رأينا بالفعل، حول الدوامة والمضادة، سيتم ملاحظة التكوين الثابت التالي للحقل:
المعادلة 36: المجال φ حول الدوامة والدوامة المضادة.
ستكون طاقة التفاعل (بما في ذلك القطع a):
المعادلة 37: طاقة التفاعل بين الدوامة ومضادة الدوامة من أجل R.
حيث تجاهلنا مجال التحقيق A من خلال اعتباره صغيرًا بما يكفي لأغراضنا). الآن بما أن تفاعل كولوم في بعدين له نفس السلوك المقارب (انظر Zee ، الفصل I.4) ،
المعادلة 38: السلوك المقارب لتفاعل كولوم في بعدين.
نرى أن غاز الدوامة والدوامة المضادة يشبه غاز الشحنات النقطية بتفاعل كولوم! علاوة على ذلك، يمكننا التعبير عن النظرية كنظرية مزدوجة حيث تتصرف الدوامات على أنها "رسوم نقطية" لبعض مجال القياس. في النظرية الثنائية، تحتوي الحقول الأساسية على إبداعات وعوامل إبادة تعمل على الدوامات، وليس في الكميات الأصلية φ.
يمكن الحصول على معادلات النظرية الجديدة دون بذل الكثير من الجهد. بالتماثل مع تقنية هوبارد-ستراتونوفيتش Hubbard-Stratonovich، نقدم أولاً تكاملًا إضافيًا فوق مجال إضافي في المسار Z المتكامل للنظرية. تصبح كثافة لاغرانج الجديدة:
المعادلة 39: كثافة لاغرانج في المعادلة 5 تقدم مجالًا إضافيًا.
تقسيم حقل الطور إلى جزء أملس وغير أملس (الأخير يتوافق مع الأماكن التي الرياح حولها بمقدار 2). توصيل حقل الطور θ الانقسام اللاحق في المعادل. 10 والتكامل على الجزء السلس من θ، نحصل على تباعد المجال ξ, والذي يمكن حله. بحساب التفاضل والتكامل الأساسي، نجد أن تباعد تجعيد أي حقل متجه يساوي صفرًا. من الناحية المعيارية لدينا:
المعادلة 40: نظرًا لأن تباعد الدوران curl يساوي صفرًا، فإن تعبير الجانب الأيمن لـ ξ هو حل محتمل للشرط الموجود على الجانب الأيسر.
القيد ثابت في ظل التحول
ثم تقرأ كثافة لاغرانج الجديدة:
المعادلة 41: كثافة لاغرانج الجديدة التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال المعادلة 11 بالمعادلة 10.
إذا قمنا بالتكامل مع الأجزاء، فإن المصطلح الذي يحتوي على وظيفة في المعادلة. 11 (إسقاط مصطلح الحدود)، نحصل على
هذا الصفر لأن ε غير متماثل والمشتق المزدوج متماثل. لاحظ، أن التأكيد الثاني صحيح بشرط أن تكون الوظيفة θ سلسة بدرجة كافية. لكن هذه الوظيفة بعيدة كل البعد عن السلاسة ولديها العديد من القفزات في المناطق التي تحتوي على دوامات. لذلك لا يتلاشى. إذا اعتبرنا، على سبيل المثال، دوامة في حالة راحة ودمج الجزء المكاني من هذا المصطلح وهو:
فوق منطقة تحتوي على دوامة واحدة نحصل على
ومن ثم، فإن هذا التكامل هو كثافة الدوامات. إنه المكون الزمني لتيار الدوامة:
المعادلة 42: تيار الدوامة.
يمكننا إعادة كتابة لاغرانج باستخدام التيار. نحصل على لاغرانج حيث تعمل الدوامة كشحنة كهربائية للجهد a
المعادلة 43: لاغرانج في المعادلة 11 باستخدام المعادلة 12.
هذا لاغرانج هو تمثيل مزدوج للذي بدأنا به.
مجال الدوامة
يمكننا أن نقدم في النظرية مجالًا معقدًا، يسمى مجال الدوامة، والذي يخلق ويقضي على الدوامات والمضادات، على غرار المجال المعقد الأولي φ. الدوامات هي المناطق التي يوجد فيها الحقل وحولها تدور مرحلة الحقل من 0 إلى 2 درجة (انظر Zee).
بإدراج Φ ، يصبح لاغرانج:
المعادلة 44: المعادلة 43 مع تضمين مجال دوامة Φ.
حيث يحتوي W(Φ) على تفاعلات بين دوامات φ ومضاداتها، ويمكن، من حيث المبدأ، استنتاجها من لانغرانج الأولي في المعادلة 3. السؤال الآن ما هي دوامة الدوامة. من خلال لاغرانج في المعادلة 44، يجب أن يكون لدينا، باتباع نفس الأساس المنطقي كما في السابق:
المعادلة 45: شروط التقارب.
التيار الكهرومغناطيسي هو معامل -A في المعادلة 44:
المعادلة 45: قراءة التيار الكهرومغناطيسي من المعادلة 11
تقييم تدفق "المجال المغناطيسي" المقابل لإمكانات المقياس a (تشير علامات الاقتباس إلى أن التدفق يتوافق مع جهد المقياس a وليس مع الجهد الكهرومغناطيسي A):
المعادلة 46: تدفق "المجال المغناطيسي" a
للحصول على "الشحنة الكهربائية" لهذه الدوامة، نقوم بدمج المكون 0 من J:
المعادلة 47: شحنة الدوامة الناتجة عن الدوامة.
الكهرومغناطيسية والحقول العددية المدمجة لماكسويل
في الزمكان ذي الأبعاد (2 + 1)، هناك ثنائية "لعبة" أو "طفل" بين كهرومغناطيسية ماكسويل (EM) ونظرية العددية المدمجة φ. يمكن عرض هذا بسرعة.
عند كتابة لانغرانج EM (في حالة عدم وجود مصادر) من حيث موتر مزدوج نحصل على:
المعادلة 48: كثافة لاغرانج EM الكهرومغناطيسية (في حالة عدم وجود مصادر) معبراً عنها بحساس مزدوج.
يمكن التعبير عن الحساس المزدوج باستخدام الأشكال التفاضلية التي تطبق عملية ثناية هودج Hodge duality. مشغل نجمة هودج Hodg (أو نجمة Hodge فقط) على مشعب n هو خريطة من أشكال p إلى أشكال (n-p). في حالتنا، F هو شكل 2، و F هو Hodge مزدوج (أو مزدوج) لـ F.
الشكل 21: تصوير لفوتون مزدوج يتحلل إلى زوج إلكترون-بوزيترون
عند تقديم حقل إضافي B (على غرار تحويل هوبارد-ستراتونوفيتش Hubbard-Stratonovich أو إلى المجال القياسي B في تكميم BRST) تصبح كثافة لاغرانج:
المعادلة 49: كثافة لاغرانج الكهرومغناطيسية التي تحتوي على حقل مساعد B.
يسمى الحقل B مساعدًا عندما لا يحتوي على مصطلح طاقة حركية مرتبط بـ B (يمكننا بسهولة دمج B في المسار المتكامل المرتبط بكثافة لاغرانج).
تكامل A (تذكر أن F هو المشتق الخارجي للجهد الكهرومغناطيسي ذي الامكانات الأربعة، F = dA) واستخدام معادلة حركة B
المعادلة 50: معادلة الحركة التي يطيعها المجال المساعد B.
نحصل على
المعادلة 51: المجال المساعد B بدلالة الفوتون القياسي φ.
مثل لاغرانجيان ماكسويل المعبر عنه من حيث φ يُمشار إليه باسم الفوتون المزدوج القياسي φ ، يصبح:
المعادلة 52: لاغرانجيان ماكسويل معبراً عنها من حيث ما يسمى بمقادير الفوتون المزدوج φ والارتباط الثنائي بين A و φ.
إذا كانت المجموعة هي أيضًا فضاء طوبولوجي وكان تكاثرها وخرائط عناصرها لانعكاساتها مستمرة (فيما يتعلق بطوبولوجيتها)، فإن المجموعة تسمى المجموعة الطوبولوجية. تحتوي المجموعة الطوبولوجية المدمجة (مجموعة ذات طوبولوجيا مغلقة ومحدودة) فقط على تحويلات لا تتماثل مع الهوية (تسمى التحولات التي لا يمكن تشويهها باستمرار في الهوية بالتماثل). نظرًا لأن U (1) مضغوط، فإنه يسمح بتحولات كبيرة في المقاييس. إذن، يكون تحويل مقياس A هو:
المعادلة 53: يُسمح بتحويل المقياس الكبير لأن مجموعة أجهزة القياس U (1) مضغوطة.
(حيث d𝛼 هو شكل 0) و𝛼 (x) يدور حول عدد صحيح من المرات. الجانب الأيمن من الاختلاف المتكامل التالي
تحت مقياس التحويل لدينا، A → A + d𝛼 يساوي
المعادلة 54: تكامل انحدار 𝜑
الذي يتغير بعدد صحيح إذا كان مقياس الفوتون المزدوج 𝜑 مضغوطًا (مع نصف قطر يساوي 2π).
خاصيتان أساسيتان لهذه الثنائية موجودتان في كل مكان كما سنرى، وهما:
• يمتلك فوتون ماكسويل تناظرًا طوبولوجيًا "مغناطيسيًا" على شكل U (1) مع تيار طوبولوجي غير محلي مقابل لا يرتبط حفظه بتماثلات لاغرانج (ومن ثم فهو ليس تيار نويثر). هذا التيار في الواقع مرتبط بالشحنة التي تحملها الدوامات الطوبولوجية التي وصفتها النظرية (المزيد حول هذا لاحقًا). في المقابل، يحتوي الفوتون المزدوج على تيار نويثر يشبه الجسيمات (وهو محلي)، محفوظ بسبب تناظر ℒ.
• ترتبط ثوابت اقتران الحقول عكسيًا. في تعميمات هذا النموذج البسيط (الذي يتضمن وصلات إلى مجالات أخرى) عندما تكون أداة التوصيل صغيرة، يمكن استخدام التوسعات المضطربة للتحقيق في الأنظمة التي يصفونها.
كما في مراسلات نموذج ثايرنج SG-Thirring، لدينا نوعان من الثنائيات: أحدهما بين أدوات التوصيل القوية / الضعيفة والآخر بين درجات الحرية الأولية / السوليتونية.
ازدواجية مونتونين-الزيتون Montonen–Olive duality
دعونا ننظر في عمل نظرية ماكسويل للديناميكا الكهربائية
المعادلة 55: عمل نظرية ماكسويل للديناميكا الكهربائية.
حيث A هو الكمون الاتجاهي Vector Potential . يمكن كتابة الحساس الكهرومغناطيسي F كـ F = ∇ × A ، وهو ما يعادل هوية بيانكي:
المعادلة 56: هوية بيانكي.
حيث 𝛆 هو مستشعر ليفي سيفيتا الثانوي Levi-Civita pseudotensor. يمكننا كتابة المسار متكاملًا على جميع كمونات الاتجاه كما هو الحال في F. لأخذ هوية بيانكي Bianchi في الاعتبار، نقوم بتضمين المسار المتكامل على F فنحصل على:
باستخدام تعريف ديراك Dirac 𝛿 (x) يمكن التعبير عن هذا المنتج كمسار متكامل على بعض الحقول المساعدة V. بإهمال الجاكوبي Jacobian ، يصبح المسار المتكامل على A:
المعادلة 57: المسار المتكامل لنظرية ماكسويل من حيث الموتر الكهرومغناطيسي F، بما في ذلك المجال الإضافي V.
حيث أنه في المصطلح الثاني، تم استخدام التكامل بالأجزاء. نتكامل الآن على F. بصرف النظر عن ثابت التنظيم نحصل على:
المعادلة 58: المسار أعلاه مدمج من حيث المجال المساعد V فقط.
النظر في معادلات الحركة التي تم الحصول عليها عن طريق تغيير F في عمل المعادلة 18 والتعبير عن مكونات F بدلالة المجالات الكهربائية والمغناطيسية، نرى أن الجزء الكهربائي من F يصبح الجزء المغناطيسي من (2𝜋 / e²) G والعكس، وهو نفس التحويل المألوف (E ، B) → (B ، -E) (بصرف النظر عن العامل الثابت القابل للإزالة عن طريق إعادة القياس).
المسار المتكامل على V ثابت في ظل تحويل المقياس
المعادلة 59: قياس تحول الحقل الإضافي V.
لاحظ أن وجود ثوابت قياس ناشئة (بولشينسكي 2014) يعني أن مقياس الثبات ليس أساسيًا. هذا ليس غير متوقع لأن مقياس الثبات ليس تماثلًا ولكنه تكرار (انظر سيبرغ 2018). إن ظاهرة طوارئ قياس الثوابت (وهي في هذه الحالة جد بسيطة) هي في الواقع موجودة في كل مكان وتُلاحظ في العديد من مجالات الفيزياء.
بمقارنة الإجراء الأصلي S (A) بالإجراء الجديد S (V) نجد أن:
لاحظ التشابه الخادع بين هذه التطابقات وعلاقة الازدواجية القوية / الضعيفة. هنا، كلا الفعلين يمثلان نفس النظرية الحرة. هذه "أدوات التوصيل الخاطئة" هي مجرد عوامل مسبقة تمتصها A وV (عن طريق عمليات إعادة قياس بسيطة).
يمكننا إضافة مصطلح إضافي، يُعرف باسم 𝜃-term في إجراء ماكسويل دون كسر ثوابت المقياس (ودون إفساد قابلية إعادة التنظيم). لا يؤثر هذا المصطلح على معادلات المجال الكلاسيكية للحركة لأنه مصطلح سطحي (انظر كولمان 1985 للمزيد من التفاصيل):
المعادلة 60: المصطلح 𝜃-term
لاحظ أن هذا المصطلح:
• يرتبط بجزيئات جديدة تسمى الديونات dyons (التي لم يتم تأكيد وجودها تجريبيًا) الديونات هي عبارة عن جزيئات بها شحنة كهربائية q وشحنة مغناطيسية g (يشار إلى الديونات بدون شحنة كهربائية باسم أحادي القطب المغناطيسي) ويتم التنبؤ بها من قبل العديد من النظريات الموحدة الكبرى (GUT) مثل نموذج جورجي جلاشو Georgi-Glashow (5) SUالقاعدي ونموذج SO(10) القاعدي
• تخضع شحناته لشرط ديراك، الذي يقصر الشحنة المغناطيسية على g ∈ ℤ. علاوة على ذلك يجب أن تخضع الشحنات الكهربائية لأي اثنين من الأبراج للشرط q − q '= ne حيث n ∈ ℤ.
• يصعب ملاحظة الديونات Dyons في نظرية قياس U (1). ومع ذلك، كما هو موضح في المقال المكتوب (1979)، في وجود أحادي القطب المغناطيسي يكتسب الأخير شحنة كهربائية Q = ne − eθ / 2𝜋 ، حيث n ∈ ℤ.
يمكن إعادة كتابة الإجراء المعبر عنه من حيث V باستخدام e 'و'. تحديد:
المعادلة 61: تم تقديم هذا المتغير لتبسيط تغيير المعلمة بين النظريات المزدوجة.
التحويل بين e و𝜃 وإصداراته الأولية هو فقط:
المعادلة 62: تغيير المعامل بين النظريات المزدوجة باستخدام 𝜏.
لكي تكون هذه الازدواجية مفيدة، يجب أن تكون ثنائية S بين الأنظمة شديدة التفاعل والضعيفة. مع أخذ ذلك في الاعتبار، دعونا نفكر في نظام موصوف بنظرية قياس غير أبيلية (على سبيل المثال، نظرية يانغ ميلز مع مجموعة قياس G) مقترنة بمجال هيغز. إذا خضع النظام لكسر تناسق تلقائي، يتم إنتاج أحادي القطب المغناطيسي "t Hooft – Polyakov" المذكور أعلاه، بشحنة يُشار إليها بـ g = 2𝜋 / e. لاحظ أن للجسيمات الكهربائية والمغناطيسية في النظرية أصولًا مختلفة: الأول هو نتيجة لتكميم المجال، والأخير عبارة عن سوليتون شبيه بالجسيمات حتى في النظام الكلاسيكي. توضح الأشكال أدناه نظامين مختلفين لأدوات التوصيل.
عندما يكون التوصيل المغناطيسي ضعيفًا، يصبح لدينا:
اقتران مغناطيسي قوي g > 𝓞(1) يعني أن:
لاحظ أنه في الحالة الثانية قد نعتبر أن الحقول الأساسية هي سوليتونات.
قدّر مونتونن وأوليف (1977) ثبات نظريات القياس غير الأبيلية التي تحتوي على أحادي القطب المغناطيسي مثل نظرية جورجي – جلاشو الكبيرة الموحدة O(3) O (3) Georgi – Glashow Grand Unified Theory (GUT) تحت المجال الكهربائي ⇔ ازدواجية المجال المغناطيسي، مثال على ثنائية S-
الشكل 22: الفرميونات والبوزونات في SU(5) GUT
أكد سين (1994) أن التنبؤ بثنائية طيف ديون A نتيجة الحفاظ على الشحن الفوري هي 𝜃 → 𝜃 + 1 ، ويصبح المركب ثابتًا تحت كل من 𝜏 → 𝜏 + 1 و المعادلة 23. حقيقة أن هذان التحولان يولدان المجموعة SL (2، ℤ)
معروف جيدا. تتعلق هذه المجموعة بطيف الديونات والشحنات الكهربائية. قدمت أعمال أخرى لمونتونين وسيبرغ وويتن وكاردي وفافا وآخرين أدلة إضافية على أن نظرية قياس U (1) على ℝ⁴ تمتلك تناظرًا مزدوجًا مغناطيسيًا كهربائيًا (بمعنى آخر، إنه متماثل تحت المجال الكهربائي المجال ⇔ المغناطيسي).
الشكل 23: يتم تمييز النظريات المتميزة بواسطة معلمات داخلية مع المجال الأساسي الموضح أعلاه من طيف الديونات والشحنات الكهربائية مرتبطة بالتناظر SL(2, ℤ)
يوضح الشكل التحول 𝜏 → 𝜏 + 1.
الشكل 24: التحول 𝜏 ↦ 𝜏 + 1 على المستوى الزائدي H
يظهر التحويل الآخر، 𝜏 → -1 / أدناه.
الشكل 25: التحول 𝜏 ↦ −1 / على المستوى الزائدي H
شكراً لقراءتكم هذا المقال، ونراكم قريبا! كما هو الحال دائمًا، نرحب دائمًا بالملاحظات والنقد البناء!
المصدر:
The Power of Dualities. A Brief Summary with Examples | by Marco Tavora Ph.D. | Cantor’s Paradise
ترجمة:
عبدالكريم
مراجعة وتدقيق:
علي ميرزا عيسى