كلّنا أو قل معظمنا يعرف نظرية فيثاغورس (Pythagoras's theorem) الشّهيرة ، والّتي تنصّ على أنّ مجموع مربّعي طولي الضّلعين الأقصرين من مثلثٍ قائمٍ (Right triangle) يساوي مربّع طول الضلع الأطول أو الوتر(hypotenuse)، أو بتعبيرٍ رياضيٍّ:
وتُعرَف الأعداد الكاملة(Whole numbers) التي تحقّق هذه العبارة بثلاثيات فيثاغورس (Pythagorean triples)، وكمثالٍ (3,4,5) يسمّى ثلاثي فيثاغورس؛لأنّه يتكوّن من أعدادٍ كاملةٍ تحقّق نظرية فيثاغورس، وفي الحقيقة هناك عددٌ لانهائيٌّ من ثلاثيات فيثاغورس.
*ملاحظة: (الأعداد الكاملة هي : 1,2,3,... ).
لكن ماذا لو استبدلنا كلًّا من القوة 2 الموجودة على كلٌّ من الأعداد a,b,c الموجودة في نظرية فيثاغورس، بقوًى أعلى كالقوة الثالثة والرابعة؟
ونقصد بذلك معادلات بهذه الصورة
أو بشكلٍ عام:
هل سنحصل كذلك على عددٍ لانهائيٍّ من الحلول أم سيكون هناك عددٌ محدود من الحلول؟
يجيبنا فيرما (Fermat) بقول أنّه لا يوجد حلول للمعادلات التي على هذه الصورة. ترك فيرما بعد وفاته عام 1665 كتابًا يحتوي على أفكاره في حواشيه. كلّ المسائل التي تركها في هذه الحواشي تمّ حلّها إلّا المسألة الأخيرة التي تكلّمنا عنها سابقًا. فيرما ادّعى أنّه لا توجد حلول لنظريّة فيثاغورس عند استبدال القوة الثانية بقوى أعدادٍ كاملة أعلى من 2، ولكنّه لم يظهر إثباتًا لادّعائه، بل اكتفى بقول "لديّ إثبات مذهل، لكنّ هذه الحاشية صغيرةٌ جدًّا لاحتوائه". الناس حاولت إعادة صنع برهان فيرما المزعوم، أو الإتيان بإثباتهم الخاصّ، لكن طوال 300 سنة لم يتمكّن أحدٌ من فعل ذلك.
في منتصف الفترة (1950-1960م) قام عالمان يابانيان يوتاكا تانياما(Yutaka Taniyama) وغورو شيمورا(Goro Shimura) بإطلاق حدسيّة (conjecture) تربط بين فرعين من الرياضيات، يبدو للوهلة الأولى أنّهما لا ربط لهما ببعضهما البعض. ادّعيا أنّ كلّ منحنًى إهليلجيّ (elliptic curve) ( وهو تكوينٌ جبريٌّ) يُمكِن ربطه بشكلٍ نمطيٍّ وحيد(modular form)(وهو تكوين في نظرية الأعداد). أي أنّ الحدسيّة جسرٌ يربط بين فرعي الجبر(algebra) ونظرية الأعداد(number theory) في الرياضيات.حدسيّتهم فُهِمت بالتدريج في العقود الثلاثة اللاحقة، وصارت جزءًا من برنامجٍ قائمٍ للربط بين فروع الرياضيات المختلفة.
*ملاحظة: الحدسيّة عبارةٌ لا نعلم صحتها أو خطأها.
(الصورة تبيّن أحد المنحنيات الإهليلجيّة)
في عام 1958 وجد غراهارد فري (Gerhard Frey) رابطًا بين حدسية تانياما-شيمورا ونظرية فيرما الأخيرة، والذي ينصّ على أنّه إذا كانت حدسية تانياما-شيمورا صحيحة، تكون نظرية فيرما صحيحة كذلك. في علم 1986 أثبت كين ريبت(Ken Ribet) صحة هذا الرابط.
أندرو ويلز(Andre Wiles)، الذي حازت نظرية فيرما على اهتمامه منذ كان طفلًا ذا عشر سنين، وجد في الرابط الفرصة الذهبية لإثبات نظرية فيرما الأخيرة. عمل في سريّةٍ تامّةٍ ،حيث لم يخبر أحدًا بعمله غير زوجته، لسبع سنين متواصلة لكي يثبت حدسية تانياما-شيمورا التي ستثبت له نظرية فيرما الأخيرة تلقائيًا.
وأخيرًا قرّر ويلز الإعلان عن إثباته لعامّة النّاس، وبالفعل عرضه على الناس، وحوّلته الصحافة آنذاك إلى أشهر عالم رياضيات.
لكن يا فرحةً ما تمّت! عثر أحدهم على ثغرةٍ موجودة في إثبات ويلز. يومًا بعد يوم، حاول ويلز عدّة طرائق لغلق هذه الثغرة لكن بدون فائدةٍ تُذكَر. في النهاية، ويلز لجأ للاستعانة بصديقه ريتشارد تايلور(Richard Taylor). بعد ما يقارب السنة، تمكّن ويلز وتايلور من سدّ الثغرة في الإثبات، وتمّ الاعتراف للمرّة الثانية بويلز كقاهرٍ لنظرية فيرما الأخيرة.
الآن يبقى السؤال هل "الإثبات المذهل" الذي ادّعى فيرما أنّه اكتشفه موجودٌ؟ هو أمرٌ ممكنٌ، لكنّ الراجح أنّه غير موجودٍ وذلك لسببين: الأوّل أنّ علماء الرياضيات حاولوا لثلاثة قرونٍ حلّها دون فائدة، والثاني أنّ التقنيات والأدوات التي استعملها ويلز في إثبات النظريّة متقدّمة أتت بعد فيرما.
الأهميّة الأكبر لا تكمن في إثبات نظرية فيرما الأخيرة، وإنّما في التقنيات المستعملة في إثباتها، التي تمزج بين تقنيات قديمة وجديدة، الأمر الذي فتح آفاقًا واسعة للنظر في كيفية إثبات العديد من الحدسيات الرياضية.
ماذا تنتظر؟ كن أنت الشخص الذي يثبت الحدسيّة التالية.
المصدر:
1)The MATHS book by DK , pages(320-323).
كتابة:
صالح مهدي
"طالب رياضيات سنة ثالثة، مهتم بالرياضيات وبعض علوم اللغة العربية"
مراجعة وتدقيق:
صفوان يعقوب
"(طالب دراسات عليا بفيزياء الطاقة العالية في مركز عبد السلام الدولي للفيزياء النظرية). مهتم بالجاذبية الكمومية والثقوب السوداء ،الحوسبة الكمية ، وخوارزميات التعلم الآلي وعلم الحاسب النظري إضافة إلى علم الأعصاب."