الأخطاء الشائعة في الرياضيات- أخطاء الجبر

المواضيع المغطاة هنا هي أخطاءٌ يرتكبها الطلاب غالبًا في الجبر، وليست أخطاءً شائعة تُرتَكَب في درس الجبر. رأيتُ كلَّ هذه الأخطاء تُرتَكب من قبل الطلاب في جميع مستويات الدروس، من دروس الجبر إلى الرياضيات في المستوى الثالث ثانوي، وسوف نرى أن بعض الأمثلة في هذا القسم تُطبَّق في التفاضل والتكامل (Calculus).

إذا لم تكن قد أخذت درس التفاضل والتكامل، فيمكنك تجاهل هذه الأمثلة ببساطة .. في كل حالة وَضعتُ فيها أمثلة، حاولت أن أضمّن بعض الأمثلة من دروس الجبر، بالإضافة لمثالٍ أحيانًا من مستويات المقررات العليا كالتفاضل والتكامل.

أنا مقتنع أنّ الكثير من الأخطاء التي طُرحَت هنا ناتجة عن كون الناس كسالى أو متسرعين أم أنهم لا يلتفتون إلى ما يفعلون، ونعلم أنه عبر التأنّي والالتفات إلى ما يفعلون وإلى النظر إلى التعبير المناسب يمكنهم تفادي الغالبية العظمى من هذه الأخطاء!

القسمة على صفر

الجميع يعلم أنّ 0/2=0 ، ولكنّ المشكلة أنّ الكثير من الناس كذلك يقولون أنّ 2/0=0 أو 2/0=2. تذكّر أنّ القسمة على صفر غير معرّفة! ببساطة لا يمكنك أن تقسم على صفر، لذلك لا تفعلها.

هذا مثال جيدٌ جدًّا يوضّح لك أنواع الفوضى التي يمكن أن تنشأ عندما تقسم على صفر، هل يمكنك العثور على الخطأ الذي ارتكبته في العمل الآتي؟

إذًا تمكنّا من إثبات أنّ 1=2، ولكن نحن نعلم أنّ ذلك غير صحيح! .. إذًا بالتأكيد أننا قد ارتكبنا خطأً في مكانٍ ما، هل يمكنك رؤية الخطأ الذي اُرتكب؟

الخطأ كان في الخطوة الخامسة. تذكّر أنّنا بدأنا بالافتراض a=b . لكن، إذا كان هذا صحيحًا يكون a-b=0. إذًا، في الخطوة الخامسة نحن في الحقيقة نقسم على صفر!

هذا الخطأ البسيط قادنا إلى شيءٍ نعلم أنّه غير صحيح، ولكن في معظم الحالات إجاباتك لن تكون خاطئة بشكلٍ جليٍّ. لن يكون واضحًا دائمًا أنّك تقسم على صفر، كما كانت الحالة في هذا المثال، وهنا نستفيد أنك تحتاج أن تكون حذرًا من هذا الشيء.

تذكّر أنكّ لا يمكنك القسمة على صفر!

الأقواس السيئة/المفقودة/المُفترَضة

هذا قد يكون الخطأ الأكثر إزعاجًا، وهنا مجموعة من الأخطاء التي يرتكبها الناس عادةً هنا.

أول خطأ أنّ أشخاصًا يتكاسلون ويقرّرون أنّ الأقواس غير مطلوبة في خطوات معيَّنة أو أنّهم قادرون على تذكّر أنّ الأقواس كانت من المفترض أنّها هنا. بالتأكيد، المشكلة هنا أنّهم غالبًا يميلون لنسيانها في الخطوة اللاحقة مباشرةً.

الخطأ الآخر الذي لا يفهمه الطلّاب أحيانًا هو أهمية الأقواس، هذا غالبًا يُرَى في صورة أخطاء في الأسس كما توضّح الأمثلة الأولى هنا.

لاحظ الفرق المهم بين هذين الاثنين! عند التعامل مع الأسس تذكّر أنّه عندما تكون الكمية التي تكون يسار الأس تأخذ الأس فقط دون غيرها وهذه هي الحالة غير الصحيحة، أما العدد x فهو التعبير الذي يكون مباشرةً على يسار الأس فإذًا نحن نربّع العدد x فقط بينما العدد 4 لم يُربَّع وهذا هو الخطأ، بينما في الحالة الصحيحة فالأقواس تكون مباشرةً على يسار الأس، الأمر الّذي يدلّ على أنّ كلّ شيءٍ داخل الأقواس يجب تربيعه!

الأقواس مطلوبة في هذه الحالة للتأكّد من تربيعنا الشيء كاملًا، ليس فقط ال x ، لذلك لا تنساها.

هذا مماثل لما قبله، لكنّه يحمل خفاءً قد يسبّب مشاكل في بعض الأحيان. تذكّر أنّ الكميّة التي على يسار الأسّ تأخذ الأسّ. إذًا، في الحالة غير الصحيحة فقط 3 على يسار الأسّ، وعليهِ 3 فقط هي التي تُربَّع!

الكثير من الأشخاص يعلمون تقنيًا أنّهم من المفترض أن يربّعوا -3 ، لكنّهم يتكاسلون ولا يكتبون الأقواس على افتراض أنّهم سيتذكرونها حين يحين الوقت لحسابها. لكن، إنّه مذهلٌ كيف أنه الكثير من هؤلاء ينسون الأقواس ويكتبون -9 بلا إعارة أيّ أهميةٍ للأقواس.

كن حذرًا ولاحظ الفرق بين الاثنين! في الحالة الأولى وضعتُ قوسين حول 4x-5 بينما في الحالة الثانية لم أضع. بما أنّنا نطرح كثيرة حدودٍ نحتاج أن نتأكّد أنّنا نطرح كثيرة الحدود كاملةً! الطريقة الوحيدة للتأكّد من أنّنا فعلنا ذلك بشكل صحيح هي وضع قوسين على جانبيها.

مجدّدًا، هذه أحد الأخطاء التي يعرفها الناس، وهم يعلمون أنّ الأقواس تقنيًا يجدر بها التواجد هنا، لكنّهم لا يضعونها، ويقومون بعملية الطرح بشكلٍ خاطئ.

هذا يرجع لنفس الخطأ في أول مثالين. إذا كانت الكميّة التي على يسار الأس تأخذ الأس، إذًا الحالة غير الصحيحة هي فعلًا (7x=7x^(1/2√ وهذا بوضوحٍ ليس الجذر الأصلي.

المثال الخامس: احسب :

صحيح

خاطئ

لاحظ استعمال الأقواس. المسألة تبيّن أنّ ضرب -3 في التكامل كاملًا، و ليس فقط في الحدّ الأول من التكامل( كما فُعِل في المثال غير الصحيح).

التوزيع غير المناسب

كن حذرًا عند استعمال خاصية التوزيع! هناك خطآن رئيسان أمرّ بهما بشكلٍ منتظم.

تأكّد أنّك توزّع العدد 4 على كلّ ما داخل الأقواس! غالبًا الناس فقط تضرب الحدّ الأوّل في 4 وتتجاهل الحدّ الثاني. هذا بالخصوص صحيح عندما يكون الحدّ الثاني فقط عددًا. لسببٍ ما، إذا كان الحدّ الثاني يحتوي متغيّرات الطلبة غالبًا سيتذكّرون أن يوزّعوا بشكلٍ صحيح أكثر ممّا لا يتذكّرون.

تذكّر أنّ عملية الرفع للأسّ يجب أن تُؤدّى قبل أن تُوزّع أي معاملات داخل الأقواس!

افتراضات جمعيّة

لا أعلم ما أسميّه غير هذا، وهو خطأٌ يفعله الكثير من الطلّاب. هنا الافتراض، بما أنّ ، إذًا كل شيء يعمل مثل هذا، ولكن هنا قائمة كاملة حيث هذا لا يعمل.

إنّه ليس صعبًا إقناع نفسك أنّ أيًّا من هذه ليست صحيحة. فقط اختر مجموعة من الأرقام وعوّض بها! على سبيل المثال،

ستجد أحيانًا مجموعةً من الأعداد التي تعمل معها القواعد، لكنّها لا تعمل تقريبًا لأيّ زوجٍ عشوائيٍّ من الأعداد.

لاحظ أنّ هناك أمثلة أكثر بكثير حيث الافتراض الجمعي لا يعمل أكثر ممّا عدّدت هنا. أنا ببساطة كتبت التي أراه غالبًا. أيضًا بعض ما عدّدته يمكن أن يعمّم، فعلى سبيل المثال،

أخطاء الاختصار

هذه الأخطاء تنقسم لمجموعتين. تبسيط التعابير النسبية وحلّ المعادلات. لنأخذ نظرةً على تبسيط التعابير النسبيّة أولًا.

لاحظ أنّه لكي أختصر x من المقام، في البداية أخرجت x كعامل مشترك من البسط. يمكنك اختصار شيءٍ إذا كان مضروبًا في كلّ البسط والمقام، أو إذا كان البسط أو المقام كاملًا (كما في حالة المقام في مثالنا هذا).

يقابل ذلك المثال التالي الذي يحتوي خطأً شائعًا يرتكبه الطلّاب.

بتعبيرٍ آخر، هم يختصرون x التي في المقام مع واحدة فقط من x الاثنتين الموجودتين في البسط ( أي اختصر فقط من الحدّ الأوّل أو فقط من الحدّ الثاني). هذا لا يُمكن فعله!!!!! لكي تختصر بهذه الطريقة يجب أن يكون لديك في كلا الحدّين x.

لكي تقنع نفسك أنّ هذا النوع من الاختصار ليس صحيحًا انظر للمثال العدديّ القادم.

هذا يمكن فعله بسهولة فقط باستعمال الحساب كما يلي:

المثال الثالث: بسّط

لكن لنقم بعملية اختصار غير صحيحة مشابهة للمثال السابق. في البداية سنختصر ال x الموجودة في البسط مع الموجودة في المقام. هذا ليس صحيحًا، لكنّه يعكس الاختصار الخاطئ الذي فُعِل في المثال السابق. هذا يعطي،

يظهر بوضوح أنّ الاثنين ليسا نفس الشيء! لذلك تحتاج أن تكون حذرًا مع الاختصار!

الآن لنأخذ نظرة سريعة على أخطاء الاختصار المتعلّقة بحلّ المعادلات.

المثال الرابع: حلّ (بشكلٍ خاطئ)

الكثير من الطلّاب اعتادوا على اختصار (تبسيط) أشياء فقط لتكون حياتهم أسهل، الخطأ الأكبر في حلّ هذا النوع من المعادلات هو اختصار x من الطرفين للحصول على

2x-1=0→x=1/2

بينما x=1/2 حلّ ، هناك حلٌ آخر فقدناه. هل يمكنك رؤية ما هو؟ خذ نظرةً على المثال التالي لرؤية ما هو.

المثال الخامس: حلّ (بشكلٍ صحيح)

من هذا يمكنك رؤية أنّه إمّا

x=0 or 2x-1=0

في الحالة الثانية نحصل على الحل x=1/2 الذي حصلنا عليه في المحاولة الأولى، لكن نحصل أيضًا على الحل x=0 الذي لم نحصل عليه في المحاولة الأولى. واضحٌ أنّ x=0 يحقّق المعادلة وبالتالي هو حلّ.

فقدنا الحلّ x=0 في المحاولة الأولى لأنّنا حاولنا جعل حياتنا أسهل عبر تبسيط المعادلة قبل حلها. بينما بعض التبسيط أمرٌ جيّدٌ ومطلوبٌ، يجدر بك ألّا تقسم على حدٍ كما فعلنا في المحاولة الأولى للحلّ. إذا فعلت ذلك، ستخسر حلولًا.

(تعليق من عندي: هذه المشكلة حصلت لأنّنا قسمنا على شيءٍ قد يكون صفرًا، لذلك لا تقسم على شيءٍ لست متأكدًا من كونه صفرًا، ولكن إذا كنت متأكدًا أنّه ليس صفرًا فيمكنك القسمة عليه والتبسيط دون مشاكل.)

الاستعمال الصحيح للجذر التربيعي

يبدو أنّ هناك يوجد سوء فهمٍ كبيرٍ حول استعمال الجذر التربيعي، فالطلبة يبدو أنّهم تحت سوء الفهم أنّ

∓4=16√

لكنّ هذا غير صحيح، فالجذور التربيعية دائمًا موجبة أو صفر! إذًا القيمة الصحيحة هي

4=16√

هذه فقط قيمة الجذر التربيعي! إذا أردت افعل الآتي

4-=(16√)-=16√-

لاحظ أنّي استعملت الأقواس فقط لكي أبيّن كيف ظهرت علامة السالب! بشكلٍ عام، الخطوتان في الوسط تُحذَفان. إذًا، إذا أردت القيمة السالبة يجب أن تضع إشارة سالبة!

أفترض أنّ سوء الفهم هذا ناشئٌ عند الطلبة لأنّه يُطلب منهم حلّ أشياء مثل x^2=16 . الواضح أنّ الإجابة هي x=∓4، وغالبًا سيحلون باستعمال "أخذ الجذر التربيعي" للطرفين، لكن هناك خطوة مفقودة. هنا طريقة الحل الصحيحة لهذه المسألة.

لاحظ أنّ ∓ تظهر في الخطوة الثانية قبل أن نجد قيمة الجذر التربيعيّ! هي لا تظهر كجزء من أخذ الجذر التربيعيّ.

أشعر أنّ عليّ الإشارة إلى أنّ العديد من المعلّمين (متضمنًا نفسي أحيانًا) لا يساعدون حيث أنّهم غالبًا سيحذفون الخطوة الثانية، وبفعل ذلك يوحون أنّ ظهور∓ كان بسبب الجذر التربيعي. إذًا تذكّر أنّ الجذور التربيعية دائمًا تعطي إجابة موجبةً أو صفرًا. إذا أردت السالب تحتاج لوضع علامة سالب قبل أن تأخذ الجذر التربيعي.

الكسور المُبهَمة

هذه مشكلة ترميز أكثر ممّا تكون مشكلة جبر. قرّرت أن أضعها هنا لأنّ الكثير من الطلبة يخرجون من دروس الجبر دون فهم هذه النقطة، فهناك ثلاثة أنواع من الترميز السيّئ الذي يستعمله الناس غالبًا مع الكسور ، الأمر الذي يمكن أن يؤدي لأخطاءٍ في الحل.

الأوّل هو استعمال "/" للترميز إلى كسر، فعلى سبيل المثال 2/3. في هذه الحالة ليس هناك أي مشكلة في استعمال "/" ، لكن ماذا عن 2/3x ؟ هذا يمكن أن يكون أحد هذين الكسرين التاليين.

2x/3 or 2/3x

إنّه ليس واضحًا من 2/3x أيّ واحدٍ فيهما المقصود!، أنت كطالبٍ ربّما تعرف أيّ واحدٍ من الاثنين قصدتُ ، لكنّ المصحح لن يعرف.

أيضًا، بينما قد تعرف أيّ واحدٍ قصدت عندما كتبت، هل ستعرف أيّ واحدٍ من الاثنين قصدت عندما ترجع لكي ترى المسألة عندما تذاكر؟

يجدر بك استعمال "/" للكسور فقط عندما سيكون واضحًا للكل، ليس فقط أنت، كيف يُفهَم الكسر.

المشكلة الترميزيّة التالية التي أراها بشكل منتظم هي كتابة الناس.

ليس واضحًا هل x تنتمي للمقام أو الكسر أم لا. الطلبة غالبًا يكتبون كسورًا هكذا وعادةً يعنون أنّ x ليست في المقام. وبلمحة سريعة سيبدو أنّه يجدر بها أن تكون في المقام والطالب لم يرسم خط الكسر طويلًا بما فيه الكفاية.

إذا قصدت أن تكون x في المقام، فاكتبها على هذه الصورة 2/3x أي تأكّد من رسم خطّ الكسر على المقام كاملًا، وإذا لم تكن تقصد كونها في المقام فلا تترك أي شكّ! اكتبها بهذه الصورة 2x/3 .

مشكلة الترميز الأخيرة التي أراها، ترجع لاستخدام "/" لترميز كسر، لكن في الحقيقة هي مشكلة أقواس، وهذه تتضمّن كسر مثل

غالبًا الطلبة الذين يستعملون "/" للرمز إلى كسر سيكتبون هذا الكسر على هذه الصورة.

a+b/c+d

هؤلاء الطلبة يعلمون أنّهم يكتبون الكسر الأصليّ، لكن تقريبًا أيّ أحدٍ آخر سيرى الآتي

هذا بالتأكيد ليس الكسر الصحيح. إذًا، إذا كان يجب أن تستعمل "/" للدلالة على كسور، استعمل أقواسًا لتوضيح ما هو البسط وما هو المقام. إذًا، يجدر بك أن تكتب هكذا:

(a+b)/(c+d)

---

المصدر:

Common Math Errors

Link

---

ترجمة:

صالح مهدي كاظم

"طالب رياضيات سنة ثالثة، مهتم بالرياضيات وبعض علوم اللغة العربية"

مراجعة وتدقيق:

أحمد الحايكي