شرح فرضية ريمان "Riemann hypothesis"
Updated: Apr 2, 2021
تتذكر الأعداد الأولية، أليس كذلك؟ تلك الأرقام التي لا يمكنك تقسيمها إلى أرقام أخرى إلا عندما تقسمها على نفسها أو على 1 صحيح .
هناك سؤال عمره 3000 عام ،وهو:
.p , 29 , 23 , 19 , 17 , 13 , 11 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1
ما هو p ؟ 31 ، ما هو العدد التالي؟ إنه 37 ، ما بعد ذلك؟ 41، وبعد ذلك؟ 43. كيف ، ولكن ... كيف تعرف ما سيأتي بعد ذلك؟
قدم حجة أو صيغة تتنبأ (حتى بالكاد) بما سيكون عليه العدد الأولي التالي (في أي تسلسل أرقام معين)، وسوف يرتبط اسمك إلى الأبد بواحد من أعظم إنجازات العقل البشري، أمثال نيوتن وأينشتاين وجوديل، اكتشف لماذا تعمل الأعداد الأولية كما تفعل، ولن تضطر أبدًا إلى فعل أي شيء آخر مرة أخرى.
المقدمة
تمت دراسة خصائص الأعداد الأولية من قبل العديد من عمالقة الرياضيات في التاريخ، من أول اثبات على ما لا نهاية الأعداد الأولية بواسطة إقليدس، إلى الصيغة التي انتجها أويلر التي ربطت الأعداد الأولية بدالة زيتا، و من صياغة غاوس و ليجاندر لنظرية الأعداد الأولية إلى إثباتها بواسطة هادامار و دي لا فاليه بوسان، و لا يزال برنارد ريمان يسود عالم الرياضيات الذي حقق أكبر انجاز منفرد في نظرية الأعداد الأولية، كما ان أعماله التي وردت جميعها في ورقة مكونة من
8 صفحات نُشرت عام 1859 ، و أدت إلى اكتشافات جديدة وغير معروفة سابقًا حول توزيع الأعداد الأولية، وتعتبر حتى يومنا هذا واحدة من أهم الأوراق في نظرية الأعداد. منذ ان نشرت اوراقه، كانت ورقة ريمان هي المحور الرئيسي لنظرية الأعداد الأولية وكانت بالفعل السبب الرئيسي لإثبات شيء يسمى نظرية الأعداد الأولية في عام 1896 ، ومنذ ذلك الحين تم العثور على العديد من البراهين الجديدة، بما في ذلك البراهين الأولية من قبل سيلبرغ و إيردوس، ومع ذلك فإن فرضية ريمان حول جذور وظيفة زيتا لا تزال غامضة.
كم عدد الاعداد الأولية؟
لنبدأ بالسهل، نعلم جميعًا أن الرقم إما ان يكون أوليا أو مركبا وتتكون جميع الأرقام المركبة من اتحاد اعداد، كما يمكن تقسيمها (تحليلها إلى عوامل) إلى الناتج (أ × ب) من الأعداد الأولية. الأعداد الأولية بهذه الطريقة هي "لبنات بناء" أو "عناصر أساسية" للأرقام، لقد ثبت أن عددهم لا نهائي من قبل إقليدس أي 300 سنة قبل الميلاد، ويظهر برهانه الذكي ببساطة على النحو التالي:
نظرية إقليدس
افترض أن مجموعة من الأعداد الأولية ليست لانهائية ، قم بعمل قائمة بجميع الأعداد الأولية التي اخترتها ، بعد ذلك ، دع P يكون حاصل ضرب كل الأعداد الأولية في القائمة (اضرب كل الأعداد الأولية في القائمة) ، أضف 1 إلى الرقم الناتج ، Q = P +1 ، كما هو الحال مع جميع الأرقام يجب أن يكون هذا الرقم Q إما أوليًا أو مركبًا:
إذا كان Q عددًا أوليًا، فقد وجدت عددًا أوليًا لم يكن موجودًا في "قائمة جميع الأعداد الأولية".
إذا لم يكن Q عددًا أوليًا، فهو مركب، أي مكون من أعداد أولية، أحدها p، و يقسم Q (نظرًا لأن جميع الأرقام المركبة هي نتاج أعداد أولية). من الواضح أن كل عدد أولي p يشكل P يقسم P. إذا قسمت p كلاهما على P و Q ، فسيتعين أيضًا قسمة الفرق بين الاثنين ، وهو 1. لا يوجد عدد أولي يقسم 1 ، وبالتالي لا يمكن أن يكون الرقم p في قائمتك ، وهو تناقض آخر يتمثل في أن قائمتك تحتوي على جميع الأعداد الأولية.
سيكون هناك دائمًا عدد أولي آخر p غير موجود في القائمة والذي يقسم Q ، لذلك يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأرقام الأولية.
لماذا يصعب فهم الأعداد الأولية؟
مجرد حقيقة أن أي مبتدئ يفهم المشكلة التي أشرت إليها أعلاه، تتحدث عن مدى صعوبة ذلك. حتى الخصائص الحسابية للأعداد الأولية، رغم دراستها بشكل مكثف، لا تزال غير مفهومة جيدًا. المجتمع العلمي واثق جدًا من افتقارنا لقدرتنا على فهم كيفية تصرف الأعداد الأولية إلى حد أن تحليل الأعداد الكبيرة إلى عوامل (معرفة أي اثنين من الأعداد الأولية يضربان معًا لتكوين رقم) هو أحد أسس نظرية التشفير، إليك طريقة واحدة للنظر إليه:
نحن نفهم الأرقام المركبة جيدًا انها تلك الاعداد الغير الأولية والمكونة من أعداد أولية، ولكن يمكنك بسهولة كتابة صيغة تتنبأ و / أو تنشأ مركبات، وتسمى الصيغة المستخدمة للمركبات أي "المرشح المركب" بالغربال. المثال الأكثر شهرة هو "غربال إراتوستينس" من ج. 200 قبل الميلاد، ووظيفته ببساطة هي تحديد مضاعفات كل رئيس حتى حد معين، إذن خذ العدد الأولي 2 وحدد 4 ، 6 ، 8 ، 10 وهكذا ، بعد ذلك خذ 3 وحدد 6،9،12،15 وهكذا ، و ما سوف يتبقى لك هو الأعداد الأولية فقط ، على الرغم من سهولة فهمه ، إلا أن غربال إراتوستينس كما يمكنك أن تتخيله ، ليس فعالًا للغاية.
هناك دالة واحدة تبسط عملك بشكل كبير و هي n6 +/-1 ، هذه الدالة البسيطة تنتج جميع الأعداد الأولية باستثناء 2 و 3 ، وتزيل كل مضاعفات 3 وجميع الأرقام الزوجية. ضع لـ n = 1،2،3،4،5،6،7 وراجع النتيجة: 5،7،11،13،17،19،23،25،29،31،35،37،41،43 ، الأعداد الوحيدة غير الأولية الناتجة عن الدالة هي 25 و 35 ، والتي يمكن تحليلها إلى 5 × 5 و 5 × 7 على التوالي ، الأعداد الغير أولية التالية كما يمكنك أن تتخيل هي 49 = 7 × 7 ، 55 = 5 × 11 وهكذا ، بسيط أليس كذلك؟
لتوضيح ذلك بصريًا، استخدمت شيئًا أسميه "السلالم المركبة"، وهي طريقة بسيطة لمعرفة كيفية وضع الأرقام المركبة التي تم إنشاؤها بواسطة الدالة لكل عدد أولي ودمجها، في الأعمدة الثلاثة الأولى من الصورة أدناه، ترى بدقة الأرقام الأولية 5 و7 و11 مع كل سلم مركب ذي صلة يصل إلى 91، الفوضى في العمود الرابع والتي تُظهر كيف أزال الغربال جميع الأعداد باستثناء الأعداد الأولية، هي توضيح جيد لسبب صعوبة فهم الأعداد الأولية.
السلاسل المركبة
الموارد الأساسية ...
إذن ما علاقة كل هذا بهذا الشيء الذي ربما سمعت عنه والذي يسمى "فرضية ريمان"؟ حسنًا، لنقل ببساطة انه من أجل فهم المزيد عن الأعداد الأولية، توقف علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر عن محاولة التنبؤ بيقين مطلق بمكان وجود العدد الأولي، وبدلاً من ذلك بدأوا في النظر إلى ظاهرة الأعداد الأولية ككل، هذا النهج التحليلي هو ما كان ريمان بارعًا فيه، وهو ما صنع فرضيته الشهيرة، قبل أن أشرح ذلك، من الضروري التعرف على بعض الموارد الأساسية وهي:
متسلسلة الهارمونيك (المتسلسلة المتناسقة)
المتسلسلة المتناسقة هي متسلسلة لا نهائية من الأرقام التي درسها نيكول أو رسمها لأول مرة في القرن الرابع عشر، يتعلق اسمها بمفهوم التوافقيات في الموسيقى، وهي إيحاءات أعلى من التردد الأساسي للنغمة، وتظهر المتسلسلة على النحو التالي:
الحدود الأولية من المتسلسلة المتناسقة اللانهائية
وقد ثبت أن هذا المجموع متباعد من قبل أورسمه (ليس له حد محدود، ولا يقترب / يميل نحو أي رقم معين، ولكن ينطلق إلى اللانهاية).
دوال الزيتا
المتسلسلة المتناسقة هي حالة خاصة لنوع أكثر عمومية من الوظائف تسمى دالة زيتا (ζ (s ، يتم إعطاء دالة زيتا الحقيقية القيمة لـ r و n ، وهما رقمان حقيقيان:
دالة زيتا
إذا أدخلت قيمة n = 1 ، فستحصل على المتسلسلة المتناسقة التي تتباعد ،اما بالنسبة لجميع قيم n> 1 فإن المتسلسلة تتقارب ، مما يعني أن المجموع يميل نحو بعض الأرقام مع زيادة قيمة r ، أي أنه لا ينفد إلى اللانهاية.
صيغة منتج أويلر
أول ارتباط بين دوال زيتا والأعداد الأولية تم إجراؤه بواسطة أويلر عندما أوضح أنه بالنسبة إلى nو p، رقمان طبيعيان (أعداد صحيحة أكبر من الصفر) حيث يكون pأولي:
صيغة منتج أويلر لرقمين n ، p حيث كلاهما أكبر من الصفر و p عدد أولي
ظهر هذا التعبير لأول مرة في ورقة بحثية في عام 1737 بعنوان Variae Observationes circa series infinitas))، وينص التعبير على أن مجموع دالة زيتا يساوي حاصل ضرب مقلوب واحد ناقص مقلوب الأعداد الأولية إلى القوة s، وضع هذا الارتباط المذهل الأساس لنظرية الأعداد الأولية الحديثة، والتي منذ هذه النقطة استخدمت دالة زيتا ζ (s) كطريقة لدراسة الأعداد الأولية، إثبات الصيغة هو أحد الأشياء المفضلة لدي، ولذا سأقوم بتضمينها على الرغم من أنها ليست ضرورية تمامًا لأغراضنا (إنها جميلة جدًا!):
إثبات صيغة منتج أويلر
يبدأ أويلر بوظيفة زيتا العامة:
دالة زيتا
أولاً، يضرب كلا الطرفين في الحد الثاني:
دالة زيتا مضروبة في 1/2 ^ s
ثم يطرح التعبير الناتج من دالة زيتا:
دالة زيتا ناقص 1/2 ^ s مضروبة في دالة زيتا
يكرر هذه العملية، بعد ذلك يضرب كلا الطرفين في الحد الثالث:
دالة زيتا ناقص 1/2 ^ s مضروبة في دالة زيتا 1/3 ^ s
ثم نطرح التعبير الناتج من دالة زيتا:
دالة زيتا ناقص 1/2 ^ s مضروبة في دالة زيتا ناقص 1/3 ^ s مضروبة في دالة زيتا
بتكرار هذه العملية إلى ما لا نهاية، سيترك المرء في النهاية مع التعبير:
1 ناقص جميع المقلوب الأولية، مضروبًا في دالة زيتا
إذا كانت هذه العملية مألوفة لك، فذلك لأن ما أنشأه أويلر كان في الواقع غربالًا يشبه إلى حد كبير غربال إراتوستينس، يقوم بتصفية الأعداد غير الأولية من دالة زيتا.
بعد ذلك، قسّم التعبير على جميع الحدود المتبادلة الأولية، واحصل على:
علاقة دالة زيتا مع الأعداد الأولية، للأعداد الأولية 2،3،5،7 و 11
باختصار، لقد أظهرنا أن:
صيغة منتج أويلر، التعريف الذي يظهر العلاقة بين الأعداد الأولية ودالة زيتا
ألم يتم ذلك بشكل جميل؟ ضع s = 1 ، وابحث عن المتسلسلة المتناسقة اللانهائية ، مع إعادة إثبات اللانهاية للأعداد الأولية.
دالة موبيوس
أعاد أوغست فيرديناند موبيوس في وقت لاحق كتابة صيغة منتج أويلر لإنشاء مجموع جديد، بالإضافة إلى احتوائها على معادلات الأعداد الأولية، تحتوي دالة موبيوس أيضًا على كل عدد طبيعي ناتج عن أعداد فردية وزوجية للعوامل الأولية، الأرقام المتبقية من سلسلته هي تلك التي تقسم على بعض المربعات الأولية، ان مجموعه المشار إليه بواسطة (μ (nهو كما يلي:
دالة موبيوس، نسخة معدلة من صيغة منتج أويلر، محددة لجميع الأعداد الطبيعية
يحتوي المجموع على معاملات مثل:
كل عدد اولي
كل رقم طبيعي ناتج عن عدد فردي من الأعداد الأولية المختلفة، مسبوقة بعلامة ناقص و...
كل رقم طبيعي ناتج عن عدد زوجي من الأعداد الأولية المختلفة، مسبوقة بعلامة الجمع ؛..
فيما يلي الحدود الأولى:
متسلسلة / مجموع لـ 1 مقسومًا على دالة زيتا (ζ (s
لا يحتوي المجموع على مقلوب الأعداد التي تقسم على بعض المربعات الأولية، على سبيل المثال 4، 8، 9 وهكذا، كما تأخذ دالة موبيوس μ (n) فقط ثلاث قيم محتملة والتي إما أن تكون بادئة (1 أو -1) أو تزيل حدود الـ (0) من المجموع:
القيم الثلاث الممكنة لدالة موبيوس(μ (n
على الرغم من ان موبيوسحددها رسميًا لأول مرة، إلا أن غاوس نظر في هذا المجموع الغريب بشكل ملحوظ في ملاحظة جانبية، قبل أكثر من 30 عامًا، عندما كتب:
"مجموع كل الجذور البدائية (للرقم الأولي p) إما ≡ 0 (عندما يكون p-1 قابلاً للقسمة على مربع)، أو ≡ ± 1 (mod p) (عندما يكون p-1 ناتجًا عن أعداد أولية غير متساوية) بحيث ان كان عدد هذه الإشارات موجبًا، ولكن إذا كان الرقم فرديًا، تكون الإشارة سالبة ".
الدالة المعدة للأعداد الأولية
لنعد إلى الأعداد الأولية، لفهم كيفية توزيع الأعداد الأولية أثناء صعودك إلى أعلى خط الأعداد دون معرفة مكان وجودها، من المفيد بدلاً من ذلك حساب عدد الأعداد حتى رقم معين.
دالة العد الاولي (π (x ، التي قدمها غاوس، تفعل ذلك بالضبط، وتعطي عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي عددًا حقيقيًا معينًا، و نظرًا لعدم وجود صيغة معروفة لإيجاد الأعداد الأولية، فإن صيغة العد الأولي معروفة لنا فقط اما كرسم، أو زيادة دالة الخطوة بمقدار 1 عندما تكون x أولية، يظهر الرسم أدناه الدالة حتى x = 200.
دالة العد الأولي (π (x حتى x = 200
نظرية الأعداد الأولية
نظرية الأعداد الأولية
في اللغة الإنجليزية، تنص على ما يلي: "مع انتقال x إلى ما لا نهاية، فإن دالة العد الأولي (π (x ستقارب الدالة (x / ln (x”، أو بعبارة أخرى إذا عدت مرتفعًا بما يكفي، ورسمت عدد الأعداد الأولية حتى رقم كبير جدًا x، ثم رسمت xمقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ x، فستقترب النسبة بين الاثنين من 1 ، و قد تم رسم الدالتين أدناه بالنسبة إلى x = 1000:
دالة العد الأولي (π (x والتقدير من نظرية الأعداد الأولية المرسومة حتى x = 1000
من حيث الاحتمال، تنص نظرية الأعداد الأولية على أنه إذا اخترت عددًا طبيعيًا x عشوائيًا، فإن احتمال (P (x أن يكون هذا الرقم عددًا أوليًا هو حوالي 1 / (ln (x، هذا يعني أن متوسط الفجوة بين الأعداد الأولية المتتالية بين الأعداد الصحيحة الأولى x هو تقريبًا (ln (x.
دالة التكامل اللوغاريتمي
تُعرَّف الدالة (Li (x لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة باستثناء x = 1. وهي مُعرَّفة بتكامل من 2 إلى x:
تمثيل التكامل لدالة التكامل اللوغاريتمي
برسم هذه الدالة جنبًا إلى جنب مع دالة العد الأولي والصيغة من نظرية الأعداد الأولية، نرى أن Li (x) هو في الواقع تقريب أفضل من (x / ln (x:
دالة التكامل اللوغاريتمي (Li (x ودالة العد الأولية (π (x و (x / ln (x مرسومة معًا
كم هو أفضل بكثير من التقريب! ويمكن رؤيته إذا قمنا بعمل جدول بقيم كبيرة لـ x، عدد الأعداد الأولية حتى x وخطأ الدوال القديمة (نظرية العدد الأولي) والدوال الجديدة (التكامل اللوغاريتمي):
عدد الأعداد الأولية حتى قوة معينة من عشرة وحدود الخطأ المقابلة للتقديرين
كما يمكن رؤيته بسهولة هنا، فإن دالة التكامل اللوغاريتمي أفضل بكثير من التقريب من الدالة من نظرية العدد الأولي، فقط "التجاوز" بمقدار 314890 عددا اوليا لـ x = 10إلى القوة 14، ومع ذلك تتقارب كلتا الدالتين نحو دالة العد الأولي π (س)، تعمل (Li (xأسرع بكثير، ولكن مع انتقال xإلى ما لا نهاية، فإن النسبة بين دالة العد الأولي وكلا
الدالتين (Li (xو (x / ln (xتتجه نحو 1. تصور:
تقارب نسب التقديرين ووظيفة العد الأولي نحو 1 مع x = 10000
دالة جاما
كانت دالة جاما (Γ (zموضوعًا مهمًا للدراسة منذ أن درس دانييل برنولي وكريستيان غولدباخ مشكلة توسيع دالة العامل إلى الحجج غير الصحيحة في عشرينيات القرن الثامن عشر. إنه امتداد لدالة مضروب (n! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x…. n ، إزاحة للأسفل بمقدار 1:
دالة جاما المحددة لـ z
تمثيلها بيانيا غريب للغاية:
دالة جاما (Γ (z المرسومة في النطاق -6 ≤ z ≤ 6
يتم تعريف دالة جاما (Γ (z لجميع القيم المركبة لـ z الأكبر من الصفر، الأعداد المركبة، كما تعلم على الأرجح، هي فئة من الأرقام ذات جزء تخيلي ، مكتوبة كـ (Re (z) + Im (z ، حيث (Re (z هو الجزء الحقيقي (العدد الحقيقي العادي) و (Im (z هو الجزء التخيلي، المشار إليه بالحرف i، عادةً ما يُكتب الرقم المركب بالصيغة +z = σ حيث يكون sigma σ هو الجزء الحقيقي وهو الجزء التخيلي، و تعتبر الأعداد المركبة مفيدة لأنها تسمح للرياضيين والمهندسين بتقييم المشكلات والعمل على حلها حيث لا تسمح الأعداد الحقيقية العادية بذلك.
تصور ان تعمل الأعداد المركبة على توسيع "خط الأرقام" التقليدي أحادي البعد إلى "مستوى" ثنائي الأبعاد ويسمى بالمستوى المركب، حيث يتم رسم الجزء الحقيقي من رقم مركب على المحور xويتم رسم الجزء التخيلي على المحور y.
لكي تكون قادرًا على استخدام دالة جاما (Γ (z ، تتم إعادة كتابتها في النموذج:
العلاقة الوظيفية لدالة جاما (Γ (z
باستخدام هذه التعريف، يمكن الحصول على قيم z تحت الصفر، ومع ذلك، فإنه لا يعطي قيمًا للأعداد الصحيحة السالبة، حيث لم يتم تعريفها (تقنيًا هي تفردات، أو أعمدة بسيطة).
زيتا وجاما
يتم توضيح الارتباط بين دالة زيتا ودالة جاما بالتكامل التالي:
برنارد ريمان
الآن بعد أن غطينا الموارد الأساسية الضرورية ، يمكننا أخيرًا البدء في الربط بين الأعداد الأولية وفرضية ريمان.
ولد عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان في مدينة بريسلينز عام 1826، نشر ريمان طالب غاوس أعمالًا في مجالات التحليل والهندسة و كانت أكبر مساهماته على الأرجح في مجال الهندسة التفاضلية ، حيث وضع الأساس للغة الهندسية المستخدمة لاحقًا في نظرية النسبية العامة لأينشتاين.
جهده الوحيد في نظرية الأعداد هو عبارة عن ورقته في كتابه المسمى (Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) المنشورة عام 1859 بعنوان " حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما" أهم ورقة في هذا المجال. وأوضح في أربع صفحات قصيرة:
1 تعريف دالة زيتا لريمان ζ (s) ، دالة زيتا معقدة القيمة .
2 الاستمرار التحليلي لدالة زيتا لجميع الأعداد المركبة s ≠ 1.
3 تعريف لدالة ريمان xi ξ (s) ، دالة كاملة مرتبطة بدالة زيتا لريمان من خلال دالة جاما
4 إثباتان على المعادلة الوظيفية لدالة زيتا لريمان .
تعريف دالة العد الأولي لـ ريمان J (x) باستخدام دالة العد الأولي ودالة موبيوس .
صيغة واضحة لعدد من الأعداد الأولية الأقل من رقم معين باستخدام دالة العد الأولي لريمان ، المعرفة باستخدام الأصفار التي البسيطة زيتا لريمان .
إنه إنجاز مذهل للهندسة والإبداع ، ربما لم نشهد مثله منذ ذلك الحين ، هذا مذهل للغاية.
دالة زيتا لريمان
لقد رأينا العلاقة الخاصة بين الأعداد الأولية ودالة زيتا التي أظهرها أويلر في صيغة منتجه، بعيدًا عن هذا الارتباط ، لم يُعرف الكثير عن العلاقة وسيتطلب الأمر اختراع الأعداد المركبة لإظهار مدى الترابط بين الاثنين.
كان ريمان أول من نظر في دالة زيتا (ζ (s لمتغير معقد s ، حيث s = σ + it :
دالة زيتا لريمان لـ n ، حيث +s = σ هو رقم مركب ، و حيث كل من σ و t أرقام حقيقية
يُطلق عليها اسم دالة زيتا لريمان (ζ (s ، وهي متسلسلة لا نهائية تحليلية (لها قيم محددة) لجميع الأعداد المركبة ،مع جزء حقيقي أكبر من 1 (Re (s)> 1) ، و في هذا المجال ، تتقارب بشكل مطلق.
من أجل تحليل الدالة في مناطق خارج منطقة التقارب العادية (عندما يكون الجزء الحقيقي من المتغير المعقد أكبر من 1) ، يجب إعادة تعريف الدالة و قد نجح ريمان في القيام بذلك من خلال الاستمرار التحليلي لدالة متقاربة تمامًا في نصف المستوى Re (s)> 0.
الصيغة المعاد كتابت