غالبًا ما يُفهم المنطق الحدسي "Intuitionistic logic" بصورة خاطئة من قبل الأشخاص الذين لم يدرسوه بشكلٍ دقيق، فالكثير منهم يعتقد أن الحدسيين "Intuitionists" مجرد أشخاص متعجرفين يرفضون قانون الوسط المرفوع "Law of excluded middle" دون سبب، فكثيرًا ما نسمع أن المنطق الحدسي يرفض الإثبات بالتناقض "Proof by contradiction"، في الحقيقة هذه نصف الحقيقة فقط، ويعود السبب لسوء الفهم الكلاسيكي للمنطق الحدسي.
يقبل الحدسيون برحابة صدر قانون الاختزال بالخلف أو الاختزال إلى الاستحالة "Reductio ad absurdum" كما الآتي:
(P→⊥)→¬P
حيث تشير العلامة ⊥ إلى الاستحالة "Absurdity" أو التناقض "Contradiction"، وتشير العبارة ⊥→P إلى أننا لو افترضنا أنP تؤدي إلى التناقض أو الاستحالة، فلابد أن يؤدي هذا إلى أن P خاطئة "False". هذا يمثل البرهان الكلاسيكي والمعروف بقانون الإثبات بالتناقض، وهو صالح حدسيًا. في الواقع، في الكثير من النماذج الخاصة بالمناطقة الحدسيين، تُعرف P¬ على أنها ⊥→P.
ما يرفضه الحدسيون هي العبارة المشابهة لـ:
(¬P→⊥)→P
حيث تقول العبارة الكلام الآتي: إذا افترضنا أن نفي P يؤدي إلى الاستحالة، يمكنك الاستنتاج أن P صحيحة، هذه الجملة غير صالحة حدسيًا بعد.
هنا حيث يُخدع الأشخاص إذا ما كانوا لا يعرفون سوى المنطق الكلاسيكي "Classical logic"، كما لو أنهم يصرخون بالقول: "أليس الأمر مشابهًا"، كل ما عليك فعله هو استبدال P بـ P¬ في الخطوة الأولى لتحصل على ذات النتيجة في الخطوة التالية. ليس تمامًا، في الواقع إذا ما استبدلت P بـ P¬ في الخطوة الأولى فلن تحصل على ذات نتيجة الخطوة التالية، بل ستحصل على النتيجة التالية:
(¬P→⊥)→¬¬P
إن الأشخاص المعتادين على المنطق الكلاسيكي غالبًا ما تختلط عليهم الأمور حينما يتعاملون مع علامة ¬، حيث إنهم يتعاملون مع P¬¬ كما لو أنها هي P حتى أنهم قد لا يلاحظون هذا خلال استخدامها. لكن المنطق الحدسي، يرفض هذه الفكرة، فـ P و P¬¬ ليسوا ذات الشيء، P¬¬ أضعف من P، بمعنى أنه يمكنك دائمًا أن تصل من P إلى نتيجة P¬¬ ولكن لا يمكنك عكس العملية دائمًا. إن المنطق الحدسي يوافق على أنه في حال كانت P¬ تؤدي إلى الاستحالة أو التناقض، فإنه يمكن استنتاج P¬¬. لكنهم يعتقدون أن هذا ليس كافيًا للوصول إلى النتيجة P دائمًا.
لفهم وجهة نظر المنطق الحدسي بصورة أكبر، من الأفضل أن نتحدث عن الموضوع بصورة قابلية الإثبات "Provability" بدل الحديث عن الصوابية "Truth". في المنطق الكلاسيكي، يمكن تعريف P على أنها تعني أن P صائبة، وتعريف P¬ على أن P خاطئة.
إذا ما لم تكن P خاطئة فلا بد أن تكون P صائبة، لذلك فإن P¬¬ و P يعنيان ذات الشيء، ولكن في المنطق الحدسي P تعني أن P قابلة للإثبات، و P¬ تعني أن P غير قابلة للإثبات. بينما تعني P¬¬ استحالة إثبات أن P غير قابلة للإثبات.
إذا ما كانت P قابلة للإثبات، فبالتأكيد من المستحيل إثبات أن P ليست قابلة للإثبات، لذلك يمكننا القول أن P تؤدي إلى P¬¬، و لكن لمجرد أنه من المستحيل وجود برهان لإثبات P فهذا لا يعني أن P في حد ذاتها قابلة للإثبات، لذلك فإن P¬¬ تؤدي إلى P
هذا مشابه للعبارة التالية:
(P→⊥)→¬P
هذا يعني أن إثبات P يؤدي إلى التناقض أو الاستحالة، وهذا يؤدي بنا للاستنتاج بأنه لا يمكن العثور على إثبات لـ P، وهذا صحيح حتى الآن، لكن العبارة التالية:
(¬P→⊥)→P
والتي تعني أن استحالة إثبات P يؤدي بدوره إلى التناقض أو الاستحالة، لكن العبارة ذاتها لا تعني إثباتًا لـ P، بل إنها ليست كافية لإثبات P حتى.
فهي مجرد تظهر أنه لا وجود لإثبات يدل على أن إثباتات P مستحيلة.
المصدر:
The Universe of Discourse : Proof by contradiction
ترجمة:
علي الحمد
مراجعة و تدقيق:
أحمد الحايكي