ترجع كيفية إعادة فتح المكاتب والمدارس والأماكن العامة بأمان، مع إبقاء مسافة ستّة أقدام بين الناس، إلى سؤالٍ كان يدرسه الرّياضيّاتيّون لقرون.
قد تبدو تعبئة الكرات (Sphere packing) موضوعًا لا يحبه سوى علماء الرياضيات. من سواهم سيكون متحمّسًا لإيجاد الطريقة الأكثر فاعلية لترتيب دوائر على سطحٍ مستوٍ، أو كراتٍ في فضاء ما؟
ولكن الآن، ملايين الأشخاص في جميع أنحاء العالم يفكّرون في هذه المسألة بالذات.
إنّ تحديد كيفية إعادة فتح المباني والأماكن العامة بأمان قيدَ التباعد الاجتماعي يشكّل في جزءٍ منه ممارسةً في الهندسة: إذا كان على كلِ شخصٍ أن يبعد ستّة أقدام عن أيّ شخص آخر، فإنّ معرفة عدد الأشخاص الذين يمكن أن يجلسوا في صفٍّ دراسيّ أو غرفةِ طعام تعدّ مسألة تتعلّق بتعبئة دوائر غير متداخلة في مخطّطات الطوابق.
رسومات صامويل فيلاسكو / مجلة كوانتا
بالطبع لمواجهة COVID هناك أكثر من مجرّد هذه المسألة الهندسية، لكنّ مجال تعبئة الكرات والدوائر يلعب دورًا، تمامًا كما تفعل نمذجة الهياكل البلورية في الكيمياء، ومساحات الرسائل المجردة في نظرية المعلومات. إنها مسألة بسيطة، لكنها شغلَت بعض أعظم علماء الرياضيات في التاريخ، وما تزال البحوث المشوقة قائمة لليوم، خاصّةً في الأبعاد العليا. على سبيل المثال، أثبت علماء الرياضيات مؤخّرًا أنّ أفضل طريقة لتعبئة الكرات في فضاء ذي 8 أبعاد و24 بعدًا هي تقنية أساسيّة لتحسين شفرات تصحيح الأخطاء المستخدمة في الهواتف المحمولة، أو للتواصل مع المسابير الفضائية. لذا لنلقِ نظرة على بعض التعقيدات المفاجئة التي تنشأ عندما نحاول تعبئة فضاءٍ ما بأبسط شكل لدينا.
إذا كانت وظيفتك تقتضي تعبئة البرتقال في صندوق، أو تنظيم أماكن جلوس الطلّاب بأمان في ظلّ التباعد الاجتماعي، فإنّ حجم وشكل المكان الذي سيحتوي كلًّا من البرتقال أو الطلّاب هو العنصر الحاسم في المسألة، ولكن بالنسبة لمعظم علماء الرياضيات فإنّ نظرية تعبئة الكرات تتمحور حول ملء الفضاء كاملًا، وفي بُعدَين يعني ذلك ملء السّطح المستوي بدوائر غير متداخلة من نفس الحجم.
هنا مثال على تعبئة الدوائر في سطحٍ مستوٍ، قد يذكّرك هذا الشكل بالمنظر الجانبي لصندوق علب الصودا:
يمكنك تخيُّل هذا النمط يتكرر في كل اتجاه، مثل تبليط سطح مستوٍ بالدوائر. الفجوات الصغيرة بين الدوائر تعني أنّ المستوى لم تتم تغطيته بالكامل، ولكن هذا متوقع عند تعبئة الكرات. عوضًا عن ذلك، نحن مهتمون بنسبة تغطية المستوى. ويعرف هذا بـ"كثافة تعبئة" الترتيب.
يسمى الترتيب أعلاه بالتعبئة المربّعة، ولسبب وجيه يمكننا تخيل مراكز الدوائر كرؤوس مربعات.
في الواقع، المربعات نفسها تبلّط السّطح المستوي.
ناظر وتماثل هذا التبليط يجعل عملنا سهلًا. بما أنّ هذه المربعات تغطي المستوى بأكمله بطريقة منتظمة، فإنّ نسبة المستوى المغطى بالدوائر هي نفسها نسبة أي مربع واحد مغطى بالدوائر. فلنلقِ نظرة فاحصة على أحد تلك المربعات.
افترض أن r هو نصف قطر كل دائرة، هذا يعني أنّ طول ضلع المربع هو 2r. كلّ رأس من الرؤوس الأربعة للمربع مغطى بربع دائرة، وبالتالي فإن النسبة المئوية لكل مربع مغطى هي فقط نسبة مساحة دائرة كاملة إلى مساحة مربع واحد:
كل مربع مغطّى بالدوائر بحوالي 78.54%، لذا، ومن خلال حجة التبليط، فإن المستوى بأكمله تغطّيه الدوائر بنسبة 78.45% . هذه هي كثافة التعبئة المربعة. (لاحظ كيف يسقط نصف القطر r من إجابتنا، وهذا منطقي، لأنه بغضّ النظر عن حجم الدائرة، سيظل المربع يحتوي على أربعةِ أرباعٍ من الدوائر.)
الآن، إذا سبق لك أن حاولت تكديس علب الصودا على جوانبها هكذا، فقط لمشاهدتها تنسلّ وتنزلق في الفجوات، فأنت حتمًا تعلم أن هناك طريقة أخرى لتعبئة الدوائر في المستوى.
باتباع منهاج مشابه لما فعلناه أعلاه، يمكن تخيل مراكز الدوائر في هذا الترتيب كرؤوس لسداسيات منتظمة.
نسمي هذا تعبئة سداسية. يبدو أن هذا الترتيب يملأ الفجوات بشكل أكثر كفاءة من التعبئة المربعة. ولإثبات ذلك، فَلنقارن بين كثافتي تعبئة كلٍّ منهما. تمامًا كالمربعات، تقوم السداسيّات بتبليط وتقسيم المستوى، لذا يمكننا تحديد كثافة تعبئة هذا الترتيب من خلال تحليل سداسي واحد.
كم من مساحة هذا السداسي مغطّى بالدوائر؟ بما أن الزاوية الداخلية للسداسي المنتظم تساوي 120 درجة، فإن هناك ثلث دائرة عند كل رأس من الرؤوس الستة للسداسي، هذا يشكّل ما يصل إلى دائرتين كاملتين، ومع الدائرة في المنتصف أصبح الشكل السداسي مغطًّى بثلاث دوائر. إذا كان نصف قطر كل دائرة r، فإن إجمالي المساحة المغطاة 3πr².
كيف تقارن تلك المساحة بمساحة السداسي؟ سداسيّ واحد بضلع طوله s يساوي ستّة مثلثات متساوية الأضلاع بضلع طوله s، كل منها بمساحة:
إذن فإنّ مساحة السداسي تساوي:
حيث إنّ طول ضلع الشكل السداسي في تعبئتنا 2r، فإن مساحته هي:
إذن يمكننا الآن حساب النسبة المئوية لمساحة السداسيّ المغطاة بالدوائر (بقسمة مساحة ثلاث دوائر على مساحة السداسي):
حوالي 90.69% من مساحة كل سداسي مغطاة بالدوائر، مما يجعل هذه التعبئة أكثر كفاءة من التعبئة المربعة. (لاحظ كيف سقط نصف قطر الدائرة مرة أخرى، كما ينبغي أن نتوقع). في الحقيقة، لا يوجد ترتيب أكثر كفاءة.
لم يكن إثبات هذا سهلًا، بدأ علماء الرياضيات المشهورون مثل جوزيف لويس لاغرانج وكارل فريدريتش غاوس العمل في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر، لكن المشكلة لم تُحَل تمامًا حتى الأربعينيّات من القرن العشرين، عندما تمت معالجة جميع الترتيبات الممكنة بدقة -سواء كانت منتظمة أو غير منتظمة. لقد استغرق التعامل مع المسألة في بُعدَين وقتًا طويلًا، بالرغم من أنّ تخيُّل الأشياء في بُعدَين سهل نسبيًا، وهذا تحذير لما هو آتٍ في أبعاد أعلى.
تعدّ مسألة تعبئة الكرات في ثلاثة أبعاد مسألة أكثر تعقيدًا بكثير، رغم أنّها تشترك نسبيًّا في بعض السّمات مع ثنائية الأبعاد. على سبيل المثال، التعبئة الثنائية الأبعاد التي نظرنا فيها مبنية من طبقة واحدة.
في التعبئة المربعة، نضع كل طبقة جديدة مباشرة فوق الطبقة السابقة.
أما في التعبئة السداسية، نضع كل طبقة جديدة في فجوات الطبقة السابقة.
مما يعني أننا نحصل على تعبئات مختلفة اعتمادًا على كيفية تجميع نسخ من كل طبقة.أما في ثلاثة أبعاد، فتنشأ تعبئات أساسية مختلفة عند جمع طبقات كهذه.
هذه طبقة من الكرات معبأة سداسيًّا، مثل التعبئة المثلى للدوائر على سطحٍ مستوٍ. وبالمثل، يمكن تكديس طبقة أخرى فوق هذه الطبقة، بوضعها في الفجوات بين الكرات.
لكنّ الهندسة أكثر تعقيدًا في ثلاثة أبعاد. في كل طبقة من الكرات تكون المسافة بين الفجوات المجاورة أقلّ من المسافة بين مراكز الكرات، لذلك لا يمكن وضع كرة في كل فجوة، إذ إنّ الكرات ستتراكب. هذا يعني أنّ فجوات الطبقتين تتراصف، محدِثةً قنواتٍ صغيرة خلال التعبئة.
عند وضع طبقة ثالثة، هناك خياران. أحدهما هو محاذاة الفجوات وإبقاء القنوات مفتوحة. فيما يلي صورة جانبية للترتيب:
للحفاظ على القنوات مفتوحة، يتم وضع الكرات في الطبقة الثالثة مباشرة فوق الكرات في الطبقة الأولى، كما هو موضح أعلاه. يُطلق على هذا الترتيب للكرات "تعبئة سداسية متراصة (HCP)"، ويمكن رؤية ممرّات القنوات المفتوحة عند النظر من خلال التعبئة.
الخيار الآخر للطبقة الثالثة هو إغلاق ممرّات القنوات، حيث يتم وضع الكرات في الطبقة الثالثة مباشرة فوق الفجوات:
يدعى هذا الترتيب "مكعّب مركزيّ الوجه (FCC)"، أو "تعبئة مربعة متراصة". ولا يمكن النظر من خلال التعبئة.
يظهر هذان الترتيبان متشابهين، ولكنهما مختلفان جوهريًّا في الكيمياء، حيث يصفان ترتيب الذرات في مواد مختلفة، (على سبيل المثال، للمعادن مثل الفضة والذهب بنية بلّوريّة (FCC)، بينما لبعض المعادن مثل الزئبق والتيتانيوم بنية (HCP)).وعند الاستمرار في التعبئة بأيٍّ من النمطين، يمكنك تعبئة الفضاء بالكرات: في ترتيب HCP، تكون كرات كلّ طبقة مختلفة في نفس الموضع تمامًا، بينما في FCC، تكون كرات كلّ طبقة ثالثة في نفس الموضع. واقِعًا يمكنك إنشاء العديد من التعبِئات المختلفة بشكل لا نهائي عن طريق خلط الأنماط، ولكن ما يميز النمطين HCP وFCC هو أنهما ينتجان تعبئات وحُزَم مثالية! لا يقتصر الأمر فقط على أنّ لهما نفس كثافة التعبِئة:
بل إنّ هذه الحزم هي الأكثر كثافة في مجال التعبئة الكروية في فضاء ثلاثي الأبعاد. توقّعَ هذا الرياضيّاتي والفلكيّ الشهير يوهانس كيبلر في عام 1611، لكنّ الأمر استغرق حتى عام 1998 للرياضيّاتي توماس هيلز لتقديم إثباتٍ كامل.
تُوفّر المساحة الإضافية للتنقل في ثلاثة أبعاد المزيد من الطرق لتعبئة الكرات بكفاءة. بالإضافة إلى أنّ العملية تصبح أكثر تعقيدًا عند إضافة أبعاد أكثر، إذ يكون هناك مجال أكبر لمزيد من الاحتمالات، كما يصعب تصوّرها. ليس هذا فقط، بل أيضًا تصبح الكرات أصغر في الأبعاد الأعلى.
تخيّل دائرة محاطة بمربع طول ضلعه يساوي 1.
نصف قطر الدائرة r يساوي 0.5، وبالتالي فإنّ نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع هي:
والتي صادف أن تكون نفسها كثافة تعبئتنا المربعة في بعدين.
الآن تخيل حجم كرةٍ موضوعة في وحدة مكعّبة.
مرة أخرى، نصف قطر الدائرة r يساوي 0.5، وبالتالي فإن نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعّب هي:
لاحظ أن نسبة المكعّب الذي تشغله الكرة الموضوعة في ثلاثة أبعاد أقل من نسبة المربّع الذي تشغله الدائرة في بعدين. ويستمر ّهذا النمط، أي كلما زاد البعد تقل هذه النسبة، ما يعني أنّ الكرات ذات البعد النّوني (n-dimensional spheres) تشغل فضاءً ذا بعدٍ نوني (n-dimensional space) أقلّ وأقلّ بزيادة n.
يمكن توضيح ذلك باستخدام التفاضل والتكامل، لكن يمكننا أيضًا فهمه من خلال التفكير في الأركان (أو الزوايا) فقط. في كلّ بعد يمكننا وضع كرة ذات بُعد نوني في مكعب ذي بعدٍ مساوٍ. تلامس الكرةُ أوجُهَ المكعب من دون أن تصل إلى الأركان، إذن ثَمَّة منطقة تكون داخل المكعب وخارج الكرة عند كل ركن. لكنّ صندوقًا ما ذا بُعدٍ نونيّ يكون عدد أركانه ، ما يعني أنّ بزيادة n يزداد عدد الأركان غير المغطاة من قِبل الكرة باطّراد (exponentially growth). ليس ذلك فقط، بل إنّ المسافة الفاصِلة بين الرّكن والكرة تزداد أيضًا. على المدى الطويل هذا يعني أنّ الفسحة بين داخل المكعب ذي البعد النّوني وخارج الكرة ذاتِ نفس البعد تقلِّصُ الفضاءَ الذي تشغله الكرة.
إذا لم يكن تقلص الكرات أمرًا غريبًا بما يكفي، فقد لاحظ علماء الرياضيات المتخصصون في مجال التعبئة الكروية شيئًا أكثر إثارة للدهشة في 8 أبعاد و24 بعدًا. تقلّصَت الكرات في تلك الأبعاد بالقدر المناسب الذي يسمح لها بملء الفجوات بِكراتٍ جديدة، مما ينتج عنه تعبئات فائقة الكثافة لتلك الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. كان مخمَّنًا ومفتَرَضًا أن تكون هذه الترتيبات الاستثنائية مثالية، لكنّ علماء الرياضيات لم يتيقّنوا من ذلك حتى عام 2016، عندما أثبتَت ذلك مارينا فيازوفسكا للتعبئة في فضاء ثمانيّ الأبعاد. وفي غضون أسبوع، وسّعت فيازوفسكا مع المساعدين الطّريقة والمنهجيّة لإثبات مسألة الأربعة والعشرين بعدًا.
ما قامت به فيازوفسكا يعني أننا نعرف الآن أكثر الطرق فاعليّة للتعبئة الكروية في أبعادٍ 1، و 2، و3،و 8، و24. ولكن هناك الكثير من العمل الذي يتعين القيام به في الأبعاد الإضافيّة الأخرى. لذا أخرِج البرتقالَ وعلبَ الصودا وأجرِ التّجارب، ربما ستكون الشخص الذي يساعد في ملء الثغرات.
تمارين:
1- لنفترض أننا بدأنا تعبئة المستوى الإحداثي كما هو موضّح أدناه، بمركز الدائرة السفليّة اليسرى عند (0,0)، ومركز الدائرة السفليّة اليمنى عند (0,2):
أين مركز الدائرة الثالثة؟
2- أدناه بداية تعبئة "مكعّب بسيط" بالكرات. ماهي كثافة التعبئة لهذا الترتيب؟
3-هنا بداية تعبئة مستوى باستخدام مضلّعاتٍ ثمانيّةٍ منتظمة:
ما هي كثافة هذه التعبئة؟
الإجابات: 1- تشكّل مراكز الدوائر مثلّثًا متساوي الأضلاع بضلعٍ طوله 2. بالتناظر يكون الإحداثي x لمركز الدائرة الثالثة هو 1. بما أنّ ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه s يساوي:
ارتفاع هذا المثلث سيساوي:
وهو إحداثي y للمركز الثالث. إذن فمركز الدائرة الثالثة هو:
2- كما هو حال التعبئة المربعة للدوائر في مستوى، يمكننا تحديد كثافة التعبئة لهذا الترتيب من خلال النظر إلى مكعّب واحد
في كلّ ركنٍ من الأركان الثمانية، يقع بالضّبط ثُمن كرةٍ واحد داخل المكعب. لذا فإنّ كلّ مكعّب يشغل بداخله يعادل تمامًا كرةً واحدة. إذا كان نصف قطر كلّ كرة هو r فإنّ طول ضلع المكعب 2r. هذا يجعل كثافة التعبئة (حجم الكرة مقسومًا على حجم المكعب) تساوي:
لاحظ أن هذه هي نسبة الكرة للمكعّب التي وجدناها أعلاه.
3-نظرًا لأنّ هذا يمثّل بالأصل تعبئةً مربّعة لثُماني الأضلاع، يمكن استخدام المنهاج الذي تم وضعه سابِقًا والنظر إلى مربّعٍ واحد يربط بين مراكز أربعة مثمّناتٍ متجاورة.
لاحظ أنّ ثُمانيَّ أضلاعٍ واحدًا كاملًا مقسَّمٌ إلى أربعة أجزاء يقع داخل المربع. للمضلّع الثمانيّ المنتظم، الذي طول ضلعه s، مساحة:
(والتي يمكن إيجادها عن طريق تحليل ثمانيّ الأضلاع بطرق شتّى)، بالإضافة إلى أنّ ثمّة مربعًا واحدًا بضلع طوله s ظاهر في المنتصف. هذا يجعل كثافة التعبئة (مساحة المثمّن مقسومة على مجموع مساحتي المثمّن والمربّع الذي طول ضلعه s):
الجدير بالملاحظة أنّ هذه التعبئة المثمّنة للمستوى ليست الأكثر كثافة. هل يمكنك العثور على تعبئة أكثر كفاءة؟
المصدر:
The Math of Social Distancing Is a Lesson in Geometry | Quanta Magazine
ترجمة:
فاطمة الزهراء
مراجعة وتدقيق:
حوراء الجزيري